残差の計算
残差の計算では、xとyの値に回帰直線を当てはめ、すべての残差を一覧にします。たとえば x = 1〜6、y = 2.1〜11.6 では ŷ = 1.95143 × x + 0.153333 で、最大の残差は 0.389524 です。
出典：Wikipedia – Errors and residuals。更新日：
計算方法
残差とは、回帰直線で説明しきれずに残る部分で、測定したyと予測値ŷの差です。残差を見ると、直線がデータにどれだけ合っているかが分かります。
公式と手順
まず平均 x̄ と ȳ を求めます。傾きは b₁ = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / Σ(x − x̄)²、切片は b₀ = ȳ − b₁ × x̄ です。各点で ŷ = b₀ + b₁ × x、残差は e = y − ŷ です。二乗和 SSE = Σe² を n − 2 で割り、その平方根が残差の標準誤差 s になります。最小二乗法では常に Σe = 0 が成り立ちます。
計算例
x = 1、2、3、4、5、6、y = 2.1、3.9、6.2、7.8、10.3、11.6 では x̄ = 3.5、ȳ = 6.98333 です。Σ(x − x̄)² = 17.5、Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 34.15 なので b₁ = 34.15 / 17.5 = 1.95143、b₀ = 0.153333 になります。x = 5 では ŷ = 9.91048 で、残差は 10.3 − 9.91048 = 0.389524 と最大です。SSE は 0.307048、残差の標準誤差は 0.277059、R² = 0.995414 です。
- 残差が正なら観測値は直線の上、負なら下にあります。
- 極端に大きな残差がいくつかあれば、外れ値の可能性があります。
- このツールは直線のみを扱います。曲線的な傾向には二次回帰を使ってください。
よくある質問
残差はどう計算しますか。
残差 = 測定した y − 回帰直線上の予測値 ŷ です。x = 5 では 10.3 − 9.91048 = 0.389524 です。
なぜ残差の和は0になるのですか。
最小二乗法の直線は重心 (x̄ | ȳ) を通るため、直線の上下のずれがちょうど打ち消し合うからです。
残差のパターンは何を意味しますか。
残差が0のまわりにランダムに散らばっていれば直線が合っています。曲線状なら曲がった関係、ろうと状ならばらつきの拡大を示します。
出典・根拠
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