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Lineare Interpolation Rechner

Der Lineare Interpolation Rechner bestimmt aus zwei bekannten Punkten den y-Wert an einer Stelle x dazwischen. Beispiel: Zwischen (10 | 20) und (30 | 60) liegt bei x = 15 der Wert y = 30. Außerhalb der Punkte spricht man von Extrapolation.

Beispiel: Punkt 1: x₁ 10 · Punkt 1: y₁ 20 · Punkt 2: x₂ 30 · Punkt 2: y₂ 60 · Gesuchte Stelle x 15 · y-Wert für die Umkehrung 45 → Interpolierter Wert: y(15) = 30. Quelle: Wikipedia – Lineare Interpolation (englisch). Stand: .

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Ergebnis

Interpolierter Wert
y(15) = 30
Einordnung
Interpolation: x liegt zwischen den beiden Punkten.
Geradengleichung
y = 2 · x + 0
Umkehrung
Für y = 45 liegt x bei 22,5.
Rechenweg
  • y = y₁ + (x − x₁) · (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
  • y = 20 + (15 − 10) · (60 − 20) / (30 − 10)
  • y = 20 + 0,25 · 40 = 30

So wird gerechnet

Bei der linearen Interpolation wird ein unbekannter Wert zwischen zwei bekannten Messpunkten auf der Verbindungsgeraden abgelesen. Typisch ist das Nachschlagen in Tabellen: Liegt der gesuchte Wert zwischen zwei Tabellenzeilen, rechnet man geradlinig dazwischen.

Die Formel

y = y₁ + (x − x₁) · (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Der Bruch ist die Steigung m der Geraden durch beide Punkte. Der Anteil t = (x − x₁) / (x₂ − x₁) zeigt, wie weit x zwischen den Punkten liegt: 0 ist Punkt 1, 1 ist Punkt 2.

Beispiel

Zwei Tabellenwerte: bei 10 °C 20 Einheiten, bei 30 °C 60 Einheiten. Gesucht ist der Wert bei 15 °C: t = (15 − 10) / 20 = 0,25, also y = 20 + 0,25 · 40 = 30. Die Gerade lautet y = 2x. Umgekehrt liegt y = 45 bei x = 22,5.

Interpolation und Extrapolation

Zwischen den Punkten ist die Schätzung meist brauchbar, wenn der Zusammenhang annähernd linear ist. Außerhalb (Extrapolation) wird die Gerade einfach weitergezogen; je weiter entfernt, desto unsicherer. Bei gekrümmten Zusammenhängen (zum Beispiel Zinsen oder Temperaturkurven) braucht es engere Stützpunkte oder ein anderes Modell.

Häufige Fragen

Wie berechnet man eine lineare Interpolation?

Mit y = y₁ + (x − x₁) · (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁): Man bestimmt die Steigung zwischen den beiden Punkten und geht von Punkt 1 so weit nach rechts, wie x von x₁ entfernt ist.

Was ist der Unterschied zwischen Interpolation und Extrapolation?

Bei der Interpolation liegt x zwischen den bekannten Punkten, bei der Extrapolation außerhalb. Extrapolieren ist deutlich unsicherer.

Wann ist lineare Interpolation genau?

Exakt ist sie, wenn der wahre Zusammenhang eine Gerade ist. Bei gekrümmten Verläufen ist sie eine Näherung, die mit enger liegenden Punkten besser wird.

Kann ich auch x aus einem gegebenen y berechnen?

Ja, die Umkehrung steht unter dem Ergebnis: x = x₁ + (y − y₁) / m. Sie funktioniert nur, wenn die Gerade nicht waagerecht ist.

Wo braucht man das im Alltag?

Zum Beispiel beim Ablesen von Tabellen (Steuer, Dampfdruck, Reifendruck), in der Technik bei Kennlinien und in Tabellenkalkulationen für fehlende Zwischenwerte.

Quellen und Rechtsgrundlagen

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