Biquadratische Gleichung lösen
Der Rechner löst jede biquadratische Gleichung ax⁴ + cx² + e = 0 per Substitution y = x² und ebenso die allgemeine Gleichung vierten Grades ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0: alle vier Lösungen, reell und komplex, mit Vielfachheit, dazu die Diskriminante Δ und was sie über die Lösungen sagt.
Beispiel: a (Faktor vor x⁴, nicht 0) 1 · b (Faktor vor x³, bei biquadratisch 0) -10 · c (Faktor vor x²) 35 · d (Faktor vor x, bei biquadratisch 0) -50 · e (Absolutglied) 24 → Reelle Lösungen: Reelle Lösungen: x = 1; 2; 3; 4. Quelle: Wikipedia, Quartic function – Nature of the roots: discriminant Δ, P = 8ac − 3b², D = 64a³e − 16a²c² + 16ab²c − 16a²bd − 3b⁴; Δ < 0 two real and two complex roots, Δ > 0 with P < 0 and D < 0 four distinct real roots, otherwise two complex pairs; biquadratic case (read 15.10.2026). Stand: .
So wird gerechnet
Eine biquadratische Gleichung enthält nur x⁴, x² und eine Zahl. Mit y = x² wird sie quadratisch: x⁴ − 5x² + 4 = 0 wird zu y² − 5y + 4 = 0 mit y = 1 und y = 4, also x = ±1 und x = ±2. Jede Gleichung vierten Grades hat – komplex und mit Vielfachheit gezählt – genau vier Lösungen.
Beispiele
| a | b | c | d | e | Reelle Lösungen |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | −10 | 35 | −50 | 24 | 1; 2; 3; 4 |
| 1 | 0 | −5 | 0 | 4 | −2; −1; 1; 2 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | −6 | −1,4142; 1,4142 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | keine |
Die erste Gleichung ist (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) = 0 mit Δ = 144. Die dritte hat zusätzlich das komplexe Paar ±1,7321i (x² = −3), die letzte vier komplexe Lösungen ±0,7071 ± 0,7071i.
Was die Diskriminante verrät
- Δ < 0: zwei reelle und zwei komplexe Lösungen.
- Δ > 0 mit P < 0 und D < 0: vier verschiedene reelle Lösungen.
- Δ > 0 mit P > 0 oder D > 0: keine reelle Lösung, zwei komplexe Paare.
- Δ = 0: Eine Lösung kommt mehrfach vor, etwa bei (x − 1)⁴ = x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x + 1.
Substitution Schritt für Schritt
Bei b = d = 0 löst man zuerst y² + (c/a)·y + e/a = 0 wie mit dem Rechner für die quadratische Gleichung und zieht dann aus jedem y die Wurzel – ein negatives y liefert ein komplexes Paar. Ein Grad niedriger hilft kubische Gleichung lösen.
Häufige Fragen
Wie löst man eine biquadratische Gleichung?
Mit der Substitution y = x²: Aus ax⁴ + cx² + e = 0 wird ay² + cy + e = 0. Die Lösungen y₁, y₂ ergeben x = ±√y₁ und x = ±√y₂.
Wie viele Lösungen hat eine Gleichung vierten Grades?
Genau vier, wenn man komplexe Lösungen und Vielfachheiten mitzählt. Reell sind es 4, 2 oder 0.
Was passiert, wenn y negativ ist?
Dann hat x² = y keine reelle Lösung, sondern zwei komplexe: x = ±i·√(−y). Bei x⁴ + x² − 6 = 0 liefert y = −3 die Lösungen ±1,7321i.
Was sagt die Diskriminante einer Gleichung 4. Grades?
Ihr Vorzeichen bestimmt die Art der Lösungen: Δ < 0 zwei reelle und zwei komplexe, Δ = 0 eine mehrfache Lösung, Δ > 0 vier reelle oder keine reelle Lösung.
Löst der Rechner auch Gleichungen mit x³ und x?
Ja, jede Gleichung ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 mit a ≠ 0; dann numerisch statt per Substitution.
Quellen und Rechtsgrundlagen
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