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Endgeschwindigkeit berechnen

Hier können Sie die Endgeschwindigkeit berechnen, also das Tempo, bei dem Luftwiderstand und Gewichtskraft gleich groß sind. Beispiel: 80 kg, cw 1,0 und 0,7 m² ergeben etwa 42,78 m/s (154 km/h).

Beispiel: Masse m 80 kg · Widerstandsbeiwert c_w 1 · Querschnittsfläche A 0,7 m² · Luftdichte ρ 1,225 kg/m³ · Fallbeschleunigung g 9,8067 m/s² → Ergebnis: Endgeschwindigkeit v_t = 42,776 m/s (153,99 km/h). Quelle: Halliday/Resnick/Walker, Fundamentals of Physics, Kap. „Drag force and terminal speed“ (siehe Wikipedia – Terminal velocity). Stand: .

kg
Richtwert je nach Form und Haltung; ein Mensch im Fall liegt grob bei 0,7 bis 1,3.
m²
Fläche senkrecht zur Bewegungsrichtung.
kg/m³
Standard: 1,225 kg/m³ (Meereshöhe, 15 °C). In der Höhe ist sie geringer.
m/s²
Standardwert 9,80665 m/s² (exakt, CGPM 1901).
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Ergebnis

Ergebnis
Endgeschwindigkeit v_t = 42,776 m/s (153,99 km/h)
Endgeschwindigkeit und Fallverlauf
GrößeWert
Endgeschwindigkeit v_t42,776 m/s
in Kilometern pro Stunde153,99 km/h
in Meilen pro Stunde95,688 mph
Zeit bis 95 % von v_t7,9902 s
Fallstrecke bis 95 % von v_t217,18 m
Rechenweg
  • Im Gleichgewicht ist die Gewichtskraft gleich der Luftwiderstandskraft: m·g = ½·ρ·c_w·A·v².
  • v_t = √(2·m·g / (ρ·c_w·A)) = √(2·80·9,8067 / (1,225·1·0,7)) = 42,776 m/s = 153,99 km/h = 95,688 mph.
  • Mit v(t) = v_t·tanh(g·t / v_t) ist 95 % von v_t nach t = artanh(0,95)·v_t / g = 7,9902 s erreicht; bis dahin fällt der Körper etwa 217,18 m.
Modell mit quadratischem Luftwiderstand, konstanter Luftdichte und ohne Auftrieb. Reale Werte hängen von Haltung, Höhe und Wetter ab; Richtwerte, keine Sicherheitsberechnung.

So wird gerechnet

Die Endgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, bei der die Luftwiderstandskraft so groß wie die Gewichtskraft ist, sodass der Körper nicht weiter beschleunigt. Ein fallender Körper wird zunächst schneller, doch der Luftwiderstand wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit, bis sich beide Kräfte aufheben.

Formel

Aus m·g = ½·ρ·c_w·A·v² folgt v_t = √(2·m·g / (ρ·c_w·A)). Schwerer, kleiner und stromlinienförmiger bedeutet schneller; dichtere Luft bremst stärker. Der Auftrieb der verdrängten Luft ist vernachlässigt. Die Zeit bis zu 95 % der Endgeschwindigkeit ergibt sich aus v(t) = v_t · tanh(g·t / v_t). Als Luftdichte gilt der Standardwert 1,225 kg/m³ der Internationalen Standardatmosphäre.

Beispiel

Masse 80 kg, c_w = 1,0, A = 0,7 m². Dann ist v_t = √(2 · 80 · 9,80665 / (1,225 · 1,0 · 0,7)) ≈ 42,78 m/s, das sind rund 154 km/h oder 95,7 mph. 95 % davon sind nach etwa 7,99 s erreicht; in dieser Zeit fällt der Körper rund 217 m.

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Endgeschwindigkeit?

Mit v_t = √(2·m·g / (ρ·c_w·A)). Beispiel: 80 kg, c_w 1,0, 0,7 m² und Luftdichte 1,225 kg/m³ ergeben etwa 42,78 m/s.

Warum fällt ein schwerer Körper schneller als ein leichter?

Bei gleicher Form und Fläche braucht der schwerere Körper mehr Luftwiderstand, um die größere Gewichtskraft auszugleichen, und das gelingt erst bei höherer Geschwindigkeit.

Wie schnell erreicht man die Endgeschwindigkeit?

Theoretisch nur asymptotisch. Praktisch sind im Beispiel 95 % nach etwa 8 Sekunden erreicht.

Quellen und Rechtsgrundlagen

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