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Newtonsches Abkühlungsgesetz

Mit diesem Rechner wendest du das newtonsche Abkühlungsgesetz T(t) = Ts + (T0 − Ts) · e^(−κt) an: Ein Getränk mit 90 °C in einem 20 °C warmen Raum hat bei κ = 0,05 pro Minute nach 10 Minuten 62,46 °C.

Beispiel: Berechnen: Temperatur nach einer Zeit · Temperatureinheit: °C · Zeiteinheit: Minuten · Anfangstemperatur T0 90 · Umgebungstemperatur Ts 20 · Abkühlungskonstante κ 0,05 · Vergangene Zeit t 10 → Ergebnis: Nach 10 min: 62,46 °C. Quelle: OpenStax Calculus Volume 2, section 4.3: Newton’s law of cooling dT/dt = k(T − Ts), solution T(t) = Ts + (T0 − Ts)e^(kt); pizza example Ts = 75 °F, T0 = 200 °F, k ≈ −0.08338, 150 °F after about 6.12 min (read 13.10.2026). Stand: .

Nur für die Anzeige; die Formel rechnet mit Temperaturdifferenzen.
Pro Zeiteinheit; ein größerer Wert heißt schnelleres Abkühlen.
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Ergebnis

Ergebnis
Nach 10 min: 62,46 °C
Details
GrößeWert
Temperatur zu diesem Zeitpunkt62,46 °C
Abkühlungskonstante κ0,05 / min
Zeit bis zur halben Differenz13,86 min
Differenz zur Umgebung42,46 °C
Berechnet mit T(t) = Ts + (T0 − Ts) · e^(−κt) (OpenStax Calculus Volume 2, newtonsches Abkühlungsgesetz). Es setzt eine gleichbleibende Umgebung und gleichmäßigen Wärmeaustausch voraus; echte Körper können abweichen, etwa wenn sie isoliert sind oder Verdunstung eine Rolle spielt.

So wird gerechnet

Newtonsches Abkühlungsgesetz: T(t) = Ts + (T0 − Ts) · e^(−κ·t). T0 ist die Anfangstemperatur, Ts die Umgebungstemperatur, t die Zeit und κ die Abkühlungskonstante pro Zeiteinheit. Das Gesetz besagt, dass sich die Temperatur umso schneller ändert, je größer die Differenz zur Umgebung ist (OpenStax Calculus Volume 2, mit k = −κ).

Beispiel: ein heißes Getränk

T0 = 90 °C, Ts = 20 °C, κ = 0,05 pro Minute. Nach 10 Minuten: T = 20 + 70 · e−0,5 ≈ 62,46 °C. 60 °C erreicht das Getränk nach ln(70 ÷ 40) ÷ 0,05 ≈ 11,19 Minuten, und die Differenz zum Raum halbiert sich alle ln 2 ÷ 0,05 ≈ 13,86 Minuten.

MinutenTemperatur in °C
090,00
574,52
1062,46
2045,75
3035,62
6023,49

Das Beispiel aus OpenStax

Eine Pizza mit 200 °F kühlt in einer 75 °F warmen Küche in einer Minute auf 190 °F ab. Dann ist κ = ln(125 ÷ 115) ≈ 0,08338 pro Minute; nach 3 Minuten hat sie 172,34 °F, und 150 °F erreicht sie nach etwa 6,13 Minuten (das Buch nennt 6,12, weil es k vorher rundet).

Dieselbe Exponentialform beschreibt den Zerfall, siehe den Halbwertszeit-Rechner; die Endtemperatur beim Mischen zweier Flüssigkeiten liefert der Rechner für die Mischungstemperatur.

Grenzen

Das Gesetz passt, wenn die Umgebung gleich bleibt und die Wärme vor allem durch Wärmeleitung oder Konvektion abfließt. Die Konstante κ musst du für deinen Körper messen, zum Beispiel mit dem dritten Modus.

Häufige Fragen

Was besagt das newtonsche Abkühlungsgesetz?

Die Temperatur eines Körpers ändert sich mit einer Geschwindigkeit, die proportional zu seiner Differenz zur Umgebung ist: T(t) = Ts + (T0 − Ts) · e^(−κt).

Wie bestimme ich die Abkühlungskonstante k?

Miss die Temperatur T1 nach der Zeit t1: κ = ln((T0 − Ts) ÷ (T1 − Ts)) ÷ t1. Für 90 → 80 °C in 5 Minuten bei 20 °C sind das 0,03083 pro Minute.

Wie lange braucht ein Kaffee, bis er eine bestimmte Temperatur hat?

t = ln((T0 − Ts) ÷ (T − Ts)) ÷ κ. Für T0 = 90, Ts = 20, κ = 0,05 und T = 60 sind das etwa 11,19 Minuten.

Funktioniert das auch in Fahrenheit?

Ja, die Formel nutzt nur Temperaturdifferenzen; wähle °F für die Anzeige und gib alle Temperaturen in derselben Einheit ein.

Warum erreicht ein Körper nie genau die Raumtemperatur?

Die Differenz schrumpft in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor; sie strebt gegen null, erreicht sie aber theoretisch nie.

Quellen und Rechtsgrundlagen

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