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Empirische Regel Rechner

Die empirische Regel sagt, wie viele Werte einer Normalverteilung innerhalb von ein, zwei und drei Standardabweichungen um den Mittelwert liegen. Tragen Sie Mittelwert und Standardabweichung ein: Bei 100 und 15 reichen die Bereiche von 85 bis 115, 70 bis 130 und 55 bis 145.

Beispiel: Mittelwert μ 100 · Standardabweichung σ 15 · Einzelner Wert x (optional) 130 → Ergebnis: 68 %: 85–115 · 95 %: 70–130 · 99,7 %: 55–145. Quelle: NIST/SEMATECH e-Handbook – Normal distribution. Stand: .

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Ergebnis

Ergebnis
68 %: 85–115 · 95 %: 70–130 · 99,7 %: 55–145
Alle Werte
BereichAnteil der WerteVon – bis
μ ± 1σ≈ 68 %85 – 115
μ ± 2σ≈ 95 %70 – 130
μ ± 3σ≈ 99,7 %55 – 145
Rechenweg
  • μ ± 1σ = 100 ± 1 · 15: von 85 bis 115 (≈ 68 % der Werte).
  • μ ± 2σ = 100 ± 2 · 15: von 70 bis 130 (≈ 95 % der Werte).
  • μ ± 3σ = 100 ± 3 · 15: von 55 bis 145 (≈ 99,7 % der Werte).
  • z = (x − μ) / σ = (130 − 100) / 15 = 2.
  • Der Wert liegt innerhalb von μ ± 2σ, also in dem Bereich, der ≈ 95 % der Werte enthält.
Die Prozentwerte sind gerundet; genau sind es 68,27 %, 95,45 % und 99,73 %. Die Regel gilt nur für annähernd normalverteilte Daten.

So wird gerechnet

Die empirische Regel (68-95-99,7-Regel) beschreibt, in welchem Abstand vom Mittelwert die Werte einer Normalverteilung liegen. Rund 68 % der Werte liegen höchstens eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt, rund 95 % höchstens zwei und rund 99,7 % höchstens drei.

Formel und Rechenweg

Die Grenzen lauten μ − k·σ und μ + k·σ mit k = 1, 2, 3. Für einen einzelnen Wert x bilden Sie zusätzlich den z-Wert z = (x − μ) / σ; sein Betrag zeigt, in welchem der drei Bereiche der Wert liegt. Genauer als die gerundeten Prozentzahlen sind 68,27 %, 95,45 % und 99,73 %.

Durchgerechnetes Beispiel

Ein Intelligenztest ist auf den Mittelwert 100 und die Standardabweichung 15 normiert. Dann liegen etwa 68 % der Personen zwischen 85 und 115, etwa 95 % zwischen 70 und 130 und etwa 99,7 % zwischen 55 und 145. Ein Ergebnis von 130 hat z = (130 − 100) / 15 = 2 und liegt damit gerade noch im 95-%-Bereich.

Häufige Fragen

Was besagt die 68-95-99,7-Regel?

In einer Normalverteilung liegen etwa 68 % der Werte innerhalb einer, 95 % innerhalb von zwei und 99,7 % innerhalb von drei Standardabweichungen um den Mittelwert.

Wie wende ich die Regel auf einen einzelnen Wert an?

Berechnen Sie z = (x − μ) / σ. Ist der Betrag von z höchstens 2, liegt der Wert im 95-%-Bereich; bei einem Mittelwert von 100, σ = 15 und x = 130 ist z = 2.

Gilt die Regel auch für nicht normalverteilte Daten?

Nur näherungsweise und nur bei glockenförmigen Daten. Für beliebige Verteilungen liefert die Tschebyschow-Ungleichung deutlich vorsichtigere Mindestanteile, nämlich 75 % innerhalb von 2σ.

Quellen und Rechtsgrundlagen

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