TR

İkinci dereceden denklem çözme

İkinci dereceden denklem çözme için denklemi ax² + bx + c = 0 biçiminde yazın ve a, b, c değerlerini girin. Diskriminant, kökler ve tüm adımlar gösterilir.

Örnek: a (x² katsayısı) 2 · b (x katsayısı) -8 · c (sabit terim) 6 → Kökler: x₁ = 1; x₂ = 3. Kaynak: Wolfram MathWorld – Quadratic formula and discriminant. Güncelleme: .

AraçlarımGirdileriniz yalnızca bu tarayıcıda saklanır.

Sonuç

Kökler
x₁ = 1; x₂ = 3
Diskriminant (Δ)
D = 16 > 0 → iki farklı reel kök
Parabolün tepe noktası
S(2 | −2)
Çarpanlarına ayrılmış biçim
2 · (x − 1) · (x − 3)
Kökler toplamı ve çarpımı
x₁ + x₂ = 4; x₁ · x₂ = 3
Adım adım çözüm
  • 2x² − 8x + 6 = 0
  • D = b² − 4ac = (−8)² − 4 · 2 · 6 = 64 − 48 = 16
  • x = (−b ± √D) ÷ (2a) = (8 ± √16) ÷ 4
  • x₁ = (8 − 4) ÷ 4 ≈ 1; x₂ = (8 + 4) ÷ 4 ≈ 3
  • a’ya bölünce: x² + px + q = 0, p = −4, q = 3
  • x = −p/2 ± √((p/2)² − q) = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1
  • Kontrol: x₁ + x₂ = −b ÷ a ve x₁ · x₂ = c ÷ a
a > 0: parabolün kolları yukarı bakar, tepe noktası en küçük değerdir.

Nasıl hesaplanır?

İkinci dereceden bir denklem ax² + bx + c = 0, diskriminant Δ = b² − 4ac ile çözülür: Δ > 0 ise iki farklı kök x = (−b ± √Δ) ÷ (2a), Δ = 0 ise çakışık kök −b ÷ (2a), Δ < 0 ise reel kök yoktur. Örnek: 2x² − 8x + 6 = 0 için Δ = 16, kökler x = 1 ve x = 3’tür.

Denklemi standart biçime getirme

Tam biçim, tepe noktası ve çarpanlara ayırma

Katsayılar tam sayıysa kökler tam biçimde de verilir: kesir olarak (6x² − x − 2 = 0 → −1/2 ve 2/3) ya da sadeleştirilmiş kökle (x² − 3x + 1 = 0 → (3 ± √5) ÷ 2). Ayrıca tepe noktası T(−b/(2a), −Δ/(4a)), çarpanlara ayrılmış biçim a(x − x₁)(x − x₂) ve kökler toplamı-çarpımı ile kontrol gösterilir. Δ < 0 ise karmaşık kökler de yazılır, örneğin 1 ± 2i.

Hassasiyet

b², 4ac’den çok büyükse formül doğrudan uygulandığında basamak kaybı olur. Bu yüzden hesaplayıcı Numerical Recipes’teki kararlı biçimi kullanır: q = −(b + işaret(b)·√Δ)/2, x₁ = q/a, x₂ = c/q. Adımlarda okuldaki formül görünür.

Parabolü fonksiyon grafiği çizme aracıyla çizin, kökleri üslü sayı hesaplama ile, kesirleri kesir hesaplama ile kontrol edin.

Sıkça sorulan sorular

Diskriminant nasıl hesaplanır?

Δ = b² − 4ac. 2x² − 8x + 6 = 0 için: Δ = (−8)² − 4 · 2 · 6 = 64 − 48 = 16.

İkinci dereceden denklemin kök formülü nedir?

x₁,₂ = (−b ± √Δ) ÷ (2a). Δ = 0 ise tek (çakışık) kök x = −b ÷ (2a) olur.

Diskriminant negatifse ne olur?

Reel kök yoktur; parabol x eksenini kesmez. Karmaşık sayılarda kökler (−b ± i√(−Δ)) ÷ (2a) olur, örneğin 1 ± 2i.

Eksik terimli denklemler nasıl çözülür?

b yoksa x² yalnız bırakılır (x² = 9 → x = ±3). c yoksa x paranteze alınır (x(x + 4) = 0 → x = 0 veya x = −4).

Kökler toplamı ve çarpımı nedir?

x₁ + x₂ = −b ÷ a ve x₁ · x₂ = c ÷ a. 2x² − 8x + 6 için toplam 4, çarpım 3 – kökler 1 ve 3 ile uyuşur.

Kaynaklar ve yasal dayanak

Güncelleme:

Benzer araçlar