Dördüncü dereceden denklem çözücü

Gerçek katsayılı her dördüncü dereceden denklem ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 bu araçla çözülür: gerçek ve karmaşık dört kökü katlılıklarıyla, diskriminantı (Δ) ve neyi gösterdiğini alırsın. x³ ve x terimi olmayan denklemler (b = d = 0) doğrudan t = x² dönüşümüyle çözülür.

Örnek: a (x⁴ katsayısı, 0 olamaz) 1 · b (x³ katsayısı) -10 · c (x² katsayısı) 35 · d (x katsayısı) -50 · e (sabit terim) 24 → Gerçek kökler: Gerçek kökler: x = 1; 2; 3; 4. Kaynak: Wikipedia, Quartic function – Nature of the roots: discriminant Δ, P = 8ac − 3b², D = 64a³e − 16a²c² + 16ab²c − 16a²bd − 3b⁴; Δ < 0 two real and two complex roots, Δ > 0 with P < 0 and D < 0 four distinct real roots, otherwise two complex pairs; biquadratic case (read 15.10.2026). Güncelleme: 15 Ekim 2026.

a (x⁴ katsayısı, 0 olamaz)

b (x³ katsayısı)

c (x² katsayısı)

d (x katsayısı)

e (sabit terim)

AraçlarımGirdileriniz yalnızca bu tarayıcıda saklanır.

Sonuç

Gerçek kökler: Gerçek kökler: x = 1; 2; 3; 4
Dört kök: Kök Değer Tür
x₁ 1 gerçek
x₂ 2 gerçek
x₃ 3 gerçek
x₄ 4 gerçek
Diskriminant ve durum: Büyüklük Değer
Diskriminant Δ 144
P = 8ac − 3b² −20
D = 64a³e − 16a²c² + 16ab²c − 16a²bd − 3b⁴ −64
Durum Δ > 0, P < 0 ve D < 0: dört farklı gerçek kök; Sayısal olarak hesaplandı (önce Durand-Kerner, sonra Newton) ve 8 anlamlı basamakla gösterildi; tam sayı katsayılarda Δ’nın işareti kesindir. Katlı kökler türev üzerinden inceltilir.

Kök	Değer	Tür
x₁	1	gerçek
x₂	2	gerçek
x₃	3	gerçek
x₄	4	gerçek

Büyüklük	Değer
Diskriminant Δ	144
P = 8ac − 3b²	−20
D = 64a³e − 16a²c² + 16ab²c − 16a²bd − 3b⁴	−64
Durum	Δ > 0, P < 0 ve D < 0: dört farklı gerçek kök

Nasıl hesaplanır?

Karmaşık kökler ve katlılık sayıldığında dördüncü dereceden bir denklemin tam olarak dört kökü vardır. x⁴ − 10x³ + 35x² − 50x + 24 = 0 denklemi (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) diye çarpanlarına ayrılır; kökleri 1, 2, 3 ve 4’tür, diskriminantı Δ = 144’tür.

Örnekler

a	b	c	d	e	Gerçek kökler
1	−10	35	−50	24	1; 2; 3; 4
1	0	−5	0	4	−2; −1; 1; 2
1	0	1	0	−6	−1,4142; 1,4142
1	0	0	0	1	yok

Üçüncü denklemin ayrıca ±1,7321i karmaşık çifti vardır (x² = −3); sonuncusunun dört kökü de karmaşıktır: ±0,7071 ± 0,7071i.

Kökler toplamı ve kökler çarpımı

Vieta formüllerine göre dört kökün toplamı −b/a, çarpımı e/a’dır. İlk örnekte 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = −(−10)/1 ve 1 · 2 · 3 · 4 = 24 = 24/1. Karmaşık kökler de bu toplama ve çarpıma dahildir.

Diskriminant (delta) ne söyler?

Δ < 0: iki gerçek, iki karmaşık kök.
Δ > 0 ve P < 0 ve D < 0: dört farklı gerçek kök.
Δ > 0 ve P > 0 ya da D > 0: gerçek kök yok, iki karmaşık çift.
Δ = 0: bir kök tekrarlanır, örneğin (x − 1)⁴ = x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x + 1.

x³ ve x terimi olmayan denklemler

x³ ve x terimleri yoksa (b = d = 0) t = x² konur: x⁴ − 5x² + 4 = 0 denklemi t² − 5t + 4 = 0 olur, t = 1 ve t = 4 çıkar, yani x = ±1 ve x = ±2. Ara adım bir ikinci dereceden denklemdir; bir derece aşağısı için üçüncü derece denklem çözümü aracını kullan.

Sıkça sorulan sorular

Dördüncü dereceden denklem nasıl çözülür?

Ferrari yöntemi denklemi bir üçüncü ve iki ikinci dereceden denkleme indirger; uygulamada kökler burada olduğu gibi sayısal hesaplanır. x⁴ − 10x³ + 35x² − 50x + 24 = 0 için kökler 1, 2, 3 ve 4’tür.

Dördüncü dereceden denklemin kaç kökü vardır?

Karmaşık kökler ve katlılık sayıldığında tam dört. Gerçek kök sayısı 4, 2 ya da 0 olabilir.

Dördüncü dereceden denklemin kökler toplamı ve çarpımı nedir?

Kökler toplamı −b/a, kökler çarpımı e/a’dır. x⁴ − 10x³ + 35x² − 50x + 24 = 0 için toplam 10, çarpım 24.

Diskriminant (delta) neyi gösterir?

İşareti köklerin türünü verir: Δ < 0 ise iki gerçek, iki karmaşık; Δ = 0 ise katlı kök; Δ > 0 ise dört gerçek kök ya da hiç gerçek kök yok.

Ondalıklı katsayılar girilebilir mi?

Evet, a ≠ 0 olan her gerçek sayı girilebilir. Kökler 8 anlamlı basamakla gösterilir.

Kaynaklar ve yasal dayanak

Wikipedia, Quartic function – Nature of the roots: discriminant Δ, P = 8ac − 3b², D = 64a³e − 16a²c² + 16ab²c − 16a²bd − 3b⁴; Δ < 0 two real and two complex roots, Δ > 0 with P < 0 and D < 0 four distinct real roots, otherwise two complex pairs; biquadratic case (read 15.10.2026)

Güncelleme: 15 Ekim 2026 · Editoryal ilkeler