Kutupsal koordinatlar: (x, y) ↔ (r, θ) dönüşümü
Kutupsal koordinatlar ile kartezyen koordinatlar arasındaki dönüşüm, OpenStax Precalculus’taki bağıntılarla yapılır: x = r cos θ, y = r sin θ ve r² = x² + y². Örnek: (3, 3) noktası için r = 3√2 ≈ 4,2426 ve θ = 45° (π/4); kutupsal (3, 90°) noktası ise (0, 3)’tür.
Örnek: Dönüşüm: kartezyen (x, y) → kutupsal (r, θ) · x 3 · y 3 · Açı birimi: derece → Sonuç: r = 4,2426, θ = 45°. Kaynak: OpenStax Precalculus 2e, 8.3 Polar Coordinates: x = r cos θ, y = r sin θ, r² = x² + y², tan θ = y/x; Examples (3, π/2) → (0, 3), (−2, 0) → (−2, 0), (3, 3) → (3√2, π/4) (read 09.10.2026). Güncelleme: .
Nasıl hesaplanır?
x = r cos θ, y = r sin θ – tersine r = √(x² + y²), tan θ = y/x. Kutupsal koordinatlar nedir sorusunun kısa cevabı: bir nokta, başlangıç noktasına (kutba) olan uzaklığı r ve pozitif x ekseninden saat yönünün tersine ölçülen açısı θ ile verilir. Kartezyenden kutupsala geçerken bölge önemlidir: tan θ = y/x tek başına (3, 3) ile (−3, −3) noktalarını ayırmaz. Araç x ve y’nin işaretine bakar ve θ’yı 0° ile 360° arasında verir.
Örnekler
| Girdi | Sonuç |
|---|---|
| (x, y) = (3, 3) | r = 4,2426 (3√2), θ = 45° = 0,7854 rad (π/4) |
| (x, y) = (−4, 3) | r = 5, θ = 143,1301° = 2,4981 rad |
| (x, y) = (1, −1) | r = 1,4142, θ = 315° |
| (x, y) = (0, −2) | r = 2, θ = 270° |
| (r, θ) = (3, 90°) | (x, y) = (0, 3) |
| (r, θ) = (−2, 0°) | (x, y) = (−2, 0) |
| (r, θ) = (−1, 120°) | (x, y) = (0,5, −0,866) |
| (r, θ) = (5, 30°) | (x, y) = (4,3301, 2,5) |
1., 5. ve 6. satırlar OpenStax’taki 3, 4 ve 5 numaralı örneklerdir; (−1, 2π/3) orada alıştırma olarak geçer, cevabı (1/2, −√3/2). (−4, 3) için arctan(3/−4) = −36,87° çıkar; nokta II. bölgede olduğundan 180° eklenir.
Karmaşık sayılarda kutupsal biçim: r·cis θ
Kutupsal koordinatlar karmaşık sayılarda da karşınıza çıkar. z = x + yi sayısının kutupsal biçimi z = r·cis θ şeklinde yazılır; burada cis θ = cos θ + i·sin θ, r = |z| ve θ argümandır. Örneğin 3 + 3i = 3√2·cis 45°. Yani bu aracın (x, y) → (r, θ) sonucu, karmaşık sayının modülünü ve argümanını da verir.
Kutupsal koordinatlarda alan
Üniversitede eğrinin sınırladığı alan A = ½ ∫ r² dθ ile, çift katlı integralde ise dA = r dr dθ ile hesaplanır; buradaki r, dönüşümün Jacobian’ıdır. Yarıçapı R olan dairenin alanı böylece πR² bulunur. Açıların sinüs ve kosinüsü için sin cos tan hesaplama, karmaşık sayılarla işlem için karmaşık sayılar hesaplama aracını kullanabilirsiniz.
Sıkça sorulan sorular
Kartezyen koordinatlar kutupsala nasıl çevrilir?
r = √(x² + y²), θ ise doğru bölgede tan θ = y/x’ten bulunur. (3, 3): r = √18 = 4,2426, θ = 45°.
Kutupsal koordinatlar kartezyene nasıl çevrilir?
x = r cos θ ve y = r sin θ. (3, 90°) için x = 0, y = 3.
(−4, 3) noktasının açısı neden −36,87° değil?
Nokta II. bölgede olduğu için. arctan(3/−4) = −36,87°; 180° eklenince doğru açı 143,1301° olur.
cis θ ne demek?
cos θ + i·sin θ’nın kısaltmasıdır. Karmaşık sayı r·cis θ biçiminde yazılır; 3 + 3i = 3√2·cis 45°.
r negatif olabilir mi?
Evet, negatif r ters yönü gösterir: (−2, 0°) noktası (−2, 0)’dır. Kutupsala çevirirken araç her zaman r ≥ 0 verir.
Derece mi radyan mı?
İkisi de olur. 45° = π/4 ≈ 0,7854 rad; seçilen birim hem girdi hem sonuç için geçerlidir.
Kaynaklar ve yasal dayanak
Güncelleme: · Editoryal ilkeler
Benzer araçlar
- Birim Çember HesaplamaBirim çember hesaplama aracı: derece veya radyan cinsinden her açı için sinüs, kosinüs, tanjant, çember üzerindeki nokta, bölge ve kesin kök değerlerini verir.
- Karmaşık sayılar hesaplamaKarmaşık sayılar hesaplama: toplama, çıkarma, çarpma, bölme, üs alma ve kök bulma; kutupsal biçim, Euler biçimi, modül ve işlem adımlarıyla birlikte.
- Sin Cos Tan hesaplamaSin cos tan hesaplama: açıyı derece veya radyan olarak girin, tüm trigonometrik fonksiyonları görün – ya da bir değerden açıyı bulun (arcsin, arccos, arctan).
- Pisagor teoremi hesaplamaPisagor teoremi hesaplama: iki kenarı girin, üçüncü kenarı, açıları, alanı ve yüksekliği bulun – tam kök, adım adım çözüm ve dik üçgen kontrolüyle.
- Vektör hesaplama aracı (adım adım)Vektör hesaplama 2B ve 3B: iki vektörün toplamı, skaler çarpımı, vektörel çarpımı, uzunluğu, açısı ve izdüşümü – anında ve işlem adımlarıyla.
- Online hesap makinesiÜcretsiz online hesap makinesi: yazın veya dokunun, sonuç anında gelsin – işlem önceliği, parantez, yüzde, karekök, adım adım çözüm ve geçmiş.
- Göreceli Risk HesaplamaGöreceli risk hesaplama aracı: 2×2 tablodan RR, grupların riski, risk farkı, NNT ve %95 güven aralığını tüm hesap adımlarıyla birlikte gösterir.
- Ritmik sayma tablosuRitmik sayma tablosu: 2’şer, 3’er, 5’er, 10’ar ve diğer saymalar 100’e kadar ileri ve geri, yüzlük tabloda renkli. Eksik sayıyı bulma oyunuyla.
- Doğum günü paradoksuDoğum günü paradoksu: bir gruptaki iki kişinin aynı gün doğmuş olma olasılığını ya da belirli bir olasılık için grup büyüklüğünü tabloyla bulun.