Coordenadas polares: de (x, y) para (r, θ) e de volta
A calculadora de coordenadas polares usa as relações do OpenStax Precalculus: x = r cos θ, y = r sen θ e r² = x² + y². Exemplo: o ponto (3, 3) tem r = 3√2 ≈ 4,2426 e θ = 45° (π/4), e o ponto polar (3, 90°) é (0, 3).
Exemplo: Converter: cartesianas (x, y) → polares (r, θ) · x 3 · y 3 · Unidade do ângulo: graus → Resultado: r = 4,2426, θ = 45°. Fonte: OpenStax Precalculus 2e, 8.3 Polar Coordinates: x = r cos θ, y = r sin θ, r² = x² + y², tan θ = y/x; Examples (3, π/2) → (0, 3), (−2, 0) → (−2, 0), (3, 3) → (3√2, π/4) (read 09.10.2026). Atualizado em: .
Como o cálculo é feito
x = r cos θ, y = r sen θ – e de volta: r = √(x² + y²), tan θ = y/x. Em coordenadas polares um ponto é dado pela distância r até a origem (o polo) e pelo ângulo θ medido a partir do semieixo x positivo, no sentido anti-horário. Na passagem para polares o quadrante importa: tan θ = y/x sozinha não distingue (3, 3) de (−3, −3). A calculadora olha os sinais de x e y e devolve θ entre 0° e 360°.
Exemplos de coordenadas polares para cartesianas e vice-versa
| Entrada | Resultado |
|---|---|
| (x, y) = (3, 3) | r = 4,2426 (3√2), θ = 45° = 0,7854 rad (π/4) |
| (x, y) = (−4, 3) | r = 5, θ = 143,1301° = 2,4981 rad |
| (x, y) = (1, −1) | r = 1,4142, θ = 315° |
| (x, y) = (0, −2) | r = 2, θ = 270° |
| (r, θ) = (3, 90°) | (x, y) = (0, 3) |
| (r, θ) = (−2, 0°) | (x, y) = (−2, 0) |
| (r, θ) = (−1, 120°) | (x, y) = (0,5, −0,866) |
| (r, θ) = (5, 30°) | (x, y) = (4,3301, 2,5) |
As linhas 1, 5 e 6 são os exemplos 3, 4 e 5 do OpenStax; (−1, 2π/3) aparece lá como exercício, com resposta (1/2, −√3/2). Em (−4, 3), o arco tangente de 3/−4 dá −36,87°, mas o ponto está no segundo quadrante, então somam-se 180°.
Integral dupla em Cálculo 2
Em Cálculo 2, coordenadas polares aparecem sobretudo na integral dupla sobre discos, setores e coroas circulares. Na troca de (x, y) por (r, θ) o elemento de área vira dA = r dr dθ – o r a mais é o jacobiano da mudança de variáveis e é um detalhe que muita gente esquece na prova. Com ele, a área de um disco de raio R sai integrando r de 0 a R e θ de 0 a 2π: πR².
Um ponto, várias representações
Em coordenadas polares o mesmo ponto tem várias representações: (3√2, π/4), (−3√2, 5π/4) e (3√2, −7π/4) são o mesmo ponto, porque somar 360° ao ângulo, ou trocar o sinal de r girando 180°, não muda a posição. Seno e cosseno dos ângulos notáveis estão na calculadora seno cosseno tangente; a forma polar dos complexos, na calculadora números complexos.
Perguntas frequentes
Como passar de coordenadas cartesianas para polares?
r = √(x² + y²) e θ a partir de tan θ = y/x no quadrante certo. (3, 3): r = √18 = 4,2426, θ = 45°.
Como passar de coordenadas polares para cartesianas?
x = r cos θ e y = r sen θ. (3, 90°) dá x = 0 e y = 3.
Por que o ângulo de (−4, 3) não é −36,87°?
Porque o ponto está no segundo quadrante. arctan(3/−4) dá −36,87°; somando 180° chega-se ao ângulo correto, 143,1301°.
Por que aparece r na integral dupla em polares?
Porque o jacobiano da troca de variáveis vale r: dA = dx dy = r dr dθ.
r pode ser negativo?
Pode. Um r negativo aponta para o lado oposto: (−2, 0°) é o ponto (−2, 0). Ao converter para polares, a calculadora sempre dá r ≥ 0.
Graus ou radianos?
Os dois. 45° = π/4 ≈ 0,7854 rad; a unidade escolhida vale para a entrada e para o resultado.
Fontes e base legal
Última atualização: · Princípios editoriais
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