Coordinate polari: da (x, y) a (r, θ) e viceversa
Il calcolatore di coordinate polari usa le relazioni di OpenStax Precalculus: x = r cos θ, y = r sin θ e r² = x² + y². Esempio: il punto (3, 3) ha r = 3√2 ≈ 4,2426 e θ = 45° (π/4), mentre il punto polare (3, 90°) corrisponde a (0, 3).
Esempio: Converti: cartesiane (x, y) → polari (r, θ) · x 3 · y 3 · Unità dell’angolo: gradi → Risultato: r = 4,2426, θ = 45°. Fonte: OpenStax Precalculus 2e, 8.3 Polar Coordinates: x = r cos θ, y = r sin θ, r² = x² + y², tan θ = y/x; Examples (3, π/2) → (0, 3), (−2, 0) → (−2, 0), (3, 3) → (3√2, π/4) (read 09.10.2026). Aggiornato al: .
Come si calcola
x = r cos θ, y = r sin θ – e all’inverso r = √(x² + y²), tan θ = y/x. Un punto in coordinate polari è dato dalla distanza r dall’origine (il polo) e dall’angolo θ misurato dal semiasse x positivo in senso antiorario. Nel passaggio da cartesiane a polari conta il quadrante: tan θ = y/x da sola non distingue (3, 3) da (−3, −3). Il calcolatore guarda i segni di x e y e restituisce θ tra 0° e 360°.
Esempi: coordinate polari e cartesiane
| Dato | Risultato |
|---|---|
| (x, y) = (3, 3) | r = 4,2426 (3√2), θ = 45° = 0,7854 rad (π/4) |
| (x, y) = (−4, 3) | r = 5, θ = 143,1301° = 2,4981 rad |
| (x, y) = (1, −1) | r = 1,4142, θ = 315° |
| (x, y) = (0, −2) | r = 2, θ = 270° |
| (r, θ) = (3, 90°) | (x, y) = (0, 3) |
| (r, θ) = (−2, 0°) | (x, y) = (−2, 0) |
| (r, θ) = (−1, 120°) | (x, y) = (0,5, −0,866) |
| (r, θ) = (5, 30°) | (x, y) = (4,3301, 2,5) |
Le righe 1, 5 e 6 sono gli esempi 3, 4 e 5 di OpenStax; (−1, 2π/3) compare lì come esercizio, con soluzione (1/2, −√3/2). Per (−4, 3) l’arcotangente di 3/−4 dà −36,87°: siccome il punto sta nel secondo quadrante si aggiungono 180°.
Integrali doppi e jacobiano
In analisi le coordinate polari servono soprattutto negli integrali doppi su cerchi e corone circolari. Cambiando variabili da (x, y) a (r, θ) l’elemento d’area diventa dx dy = r dr dθ: il fattore r è il determinante della matrice jacobiana. Così l’area di un cerchio di raggio R si ottiene integrando r da 0 a R e θ da 0 a 2π, cioè πR².
In topografia l’angolo si misura da nord
Nel rilievo topografico il punto si individua con distanza e angolo di direzione, ma l’angolo parte dal nord e cresce in senso orario, spesso in gradi centesimali. Per questo le formule si scambiano: la coordinata est è d·sin θ e quella nord d·cos θ. Con questo calcolatore conviene prima riportare l’angolo al riferimento matematico (90° − angolo, in gradi sessagesimali). Seno e coseno degli angoli usuali sono nella calcolatrice seno coseno tangente, la forma polare dei numeri complessi nella calcolatrice numeri complessi.
Domande frequenti
Come si passa da coordinate cartesiane a polari?
r = √(x² + y²) e θ da tan θ = y/x nel quadrante giusto. (3, 3): r = √18 = 4,2426, θ = 45°.
Come si passa da coordinate polari a cartesiane?
x = r cos θ e y = r sin θ. (3, 90°) dà x = 0 e y = 3.
Perché l’angolo di (−4, 3) non è −36,87°?
Perché il punto è nel secondo quadrante. arctan(3/−4) dà −36,87°; aggiungendo 180° si ottiene l’angolo corretto, 143,1301°.
Qual è lo jacobiano delle coordinate polari?
Il determinante vale r, quindi dx dy = r dr dθ negli integrali doppi.
r può essere negativo?
Sì: un r negativo punta nel verso opposto, (−2, 0°) è il punto (−2, 0). Nella conversione verso le polari il calcolatore restituisce sempre r ≥ 0.
Gradi o radianti?
Entrambi. 45° = π/4 ≈ 0,7854 rad; l’unità scelta vale per l’input e per il risultato.
Fonti e riferimenti normativi
Aggiornato al: · Principi editoriali
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