NL

ABC-formule rekenmachine

Met de abc-formule los je elke tweedegraadsvergelijking op: schrijf haar als ax² + bx + c = 0 en vul a, b en c in. Je ziet de discriminant, de oplossingen en alle stappen.

Voorbeeld: a (getal voor x²) 2 · b (getal voor x) -8 · c (getal zonder x) 6 → Oplossingen: x₁ = 1; x₂ = 3. Bron: Wolfram MathWorld – Quadratic formula and discriminant. Bijgewerkt: .

Mijn toolboxJe invoer wordt alleen in deze browser opgeslagen.

Resultaat

Oplossingen
x₁ = 1; x₂ = 3
Discriminant D
D = 16 > 0 → twee oplossingen
Top van de parabool
S(2 | −2)
Ontbonden in factoren
2 · (x − 1) · (x − 3)
Som en product van de oplossingen
x₁ + x₂ = 4; x₁ · x₂ = 3
Berekening
  • 2x² − 8x + 6 = 0
  • D = b² − 4ac = (−8)² − 4 · 2 · 6 = 64 − 48 = 16
  • x = (−b ± √D) ÷ (2a) = (8 ± √16) ÷ 4
  • x₁ = (8 − 4) ÷ 4 ≈ 1; x₂ = (8 + 4) ÷ 4 ≈ 3
  • Delen door a: x² + px + q = 0 met p = −4, q = 3
  • x = −p/2 ± √((p/2)² − q) = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1
  • Controle: x₁ + x₂ = −b ÷ a en x₁ · x₂ = c ÷ a
a > 0: dalparabool, de top is het laagste punt.

Zo wordt het berekend

Een kwadratische vergelijking ax² + bx + c = 0 los je op met de abc-formule: eerst de discriminant D = b² − 4ac, dan x = (−b ± √D) ÷ (2a). Is D groter dan 0, dan zijn er twee oplossingen; bij D = 0 één; bij D kleiner dan 0 geen. Voorbeeld: 2x² − 8x + 6 = 0 geeft D = 16 en de oplossingen x = 1 en x = 3.

De vergelijking in de goede vorm

Exacte vorm, top en ontbinden

Bij gehele getallen geeft de rekenmachine ook de exacte oplossingen: als breuk (6x² − x − 2 = 0 → −1/2 en 2/3) of met een vereenvoudigde wortel (x² − 3x + 1 = 0 → (3 ± √5) ÷ 2). Je krijgt daarnaast de top (−b/(2a), c − b²/(4a)), de ontbinding a(x − x₁)(x − x₂) en een controle met som en product. Is D negatief, dan staan de complexe oplossingen erbij, bijvoorbeeld 1 ± 2i.

Nauwkeurigheid

Als b² veel groter is dan 4ac, verliest de formule bij rechtstreeks invullen cijfers. De rekenmachine gebruikt daarom de stabiele variant uit Numerical Recipes: q = −(b + teken(b)·√D)/2, x₁ = q/a, x₂ = c/q. In de stappen blijft de bekende abc-formule staan.

Teken de parabool met grafiek plotten, controleer wortels met machtsverheffen en breuken met de breuken rekenmachine.

Veelgestelde vragen

Wat is de abc-formule?

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a) voor ax² + bx + c = 0. Eerst reken je de discriminant D = b² − 4ac uit.

Wat zegt de discriminant?

D > 0: twee oplossingen. D = 0: één oplossing (de top raakt de x-as). D < 0: geen oplossingen, de parabool snijdt de x-as niet.

Hoe los ik x² − 9 = 0 op zonder abc-formule?

x² = 9, dus x = 3 of x = −3. Bij x² + 4x = 0 haal je x buiten haakjes: x(x + 4) = 0, dus x = 0 of x = −4.

Wanneer gebruik ik de abc-formule en wanneer ontbinden?

Ontbinden (som-productmethode) is sneller als de oplossingen mooie gehele getallen zijn. De abc-formule werkt altijd, ook bij wortels en breuken.

Hoe vind ik de top van de parabool?

x-top = −b ÷ (2a); vul die in voor de y-waarde. Bij 2x² − 8x + 6 is x-top = 2 en y-top = −2.

Bronnen en wettelijke basis

Bijgewerkt op:

Vergelijkbare tools