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이차방정식 계산기: 근의 공식 풀이

이차방정식 계산기는 ax² + bx + c = 0 꼴의 방정식을 풉니다. a, b, c만 넣으면 두 근과 정확한 꼴(분수, 근호), 판별식, 그리고 근의 공식을 쓴 풀이 과정이 한 줄씩 나옵니다.

계산 예시: a (x²의 계수) 2 · b (x의 계수) -8 · c (상수항) 6 → 근: x₁ = 1; x₂ = 3. 출처: 위키백과 – 이차 방정식 (판별식, 근과 계수의 관계). 업데이트: .

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결과

근
x₁ = 1; x₂ = 3
판별식 D
D = 16 > 0 → 서로 다른 두 실근
포물선의 꼭짓점
S(2 | −2)
인수분해 꼴
2 · (x − 1) · (x − 3)
두 근의 합과 곱
x₁ + x₂ = 4; x₁ · x₂ = 3
풀이 과정
  • 2x² − 8x + 6 = 0
  • D = b² − 4ac = (−8)² − 4 · 2 · 6 = 64 − 48 = 16
  • x = (−b ± √D) ÷ (2a) = (8 ± √16) ÷ 4
  • x₁ = (8 − 4) ÷ 4 ≈ 1; x₂ = (8 + 4) ÷ 4 ≈ 3
  • 양변을 a로 나눕니다 → x² + px + q = 0, p = −4, q = 3
  • x = −p/2 ± √((p/2)² − q) = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1
  • 검산 (근과 계수의 관계): x₁ + x₂ = −b ÷ a, x₁ × x₂ = c ÷ a
a > 0: 포물선이 아래로 볼록하고 꼭짓점이 최솟값입니다.

계산 방법

이차방정식 ax² + bx + c = 0은 근의 공식 x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)로 풉니다. 판별식 D = b² − 4ac로 실근의 개수를 알 수 있습니다. D > 0이면 서로 다른 두 실근, D = 0이면 중근, D < 0이면 실근이 없습니다(허근만 있음). 예: 2x² − 8x + 6 = 0은 D = 16이고 근은 x = 1, x = 3입니다.

먼저 ax² + bx + c = 0 꼴로 정리하기

정확한 근, 꼭짓점, 인수분해

계수가 정수이면 계산기는 정확한 근도 보여 줍니다. 분수로 떨어지면 분수로(6x² − x − 2 = 0 → −1/2, 2/3), 아니면 근호를 간단히 한 꼴로(x² − 3x + 1 = 0 → (3 ± √5) ÷ 2) 나옵니다. 포물선의 꼭짓점 (−b/(2a), c − b²/(4a)), 인수분해 꼴 a(x − x₁)(x − x₂), 그리고 근과 계수의 관계로 한 검산도 함께 나옵니다. D가 음수이면 1 ± 2i 같은 허근도 보여 줍니다.

방정식D근
x² − 5x + 6 = 01x = 2, 3 (서로 다른 두 실근)
x² − 6x + 9 = 00x = 3 (중근)
x² − 2x + 5 = 0−16x = 1 ± 2i (허근)

계산 결과가 정확한 이유

b²이 4ac보다 훨씬 크면 근의 공식에 숫자를 그대로 넣었을 때 컴퓨터의 소수 계산에서 자릿수가 사라질 수 있습니다. 그래서 계산기는 내부적으로 수치적으로 안정한 형태(Numerical Recipes): q = −(b + sign(b)·√D)/2, x₁ = q/a, x₂ = c/q를 씁니다. 풀이 과정에는 교과서의 근의 공식이 그대로 나옵니다.

제곱근을 간단히 하려면 제곱근 계산기를, 분수로 된 근을 다루려면 분수 계산기를 쓰세요.

자주 묻는 질문

근의 공식은 무엇인가요?

ax² + bx + c = 0에서 x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)입니다. ± 덕분에 근이 두 개 나옵니다. b가 짝수일 때는 b = 2b′로 놓은 짝수 공식 x = (−b′ ± √(b′² − ac)) ÷ a가 더 간단합니다.

판별식으로 무엇을 알 수 있나요?

D = b² − 4ac가 0보다 크면 서로 다른 두 실근, 0이면 중근, 0보다 작으면 실근이 없습니다. D < 0이면 포물선이 x축과 만나지 않습니다.

허근은 어떻게 구하나요?

D < 0이면 √D = i√(−D)로 씁니다. x² − 2x + 5 = 0은 D = −16이므로 x = (2 ± 4i) ÷ 2 = 1 ± 2i입니다.

x² − 9 = 0은 공식 없이 어떻게 푸나요?

x² = 9로 놓고 제곱근을 구하면 x = 3 또는 x = −3입니다. x² + 4x = 0은 x로 묶어 x(x + 4) = 0이므로 x = 0 또는 x = −4입니다.

인수분해 꼴은 어떻게 쓰나요?

두 근 x₁, x₂를 구한 뒤 a(x − x₁)(x − x₂)로 씁니다. 2x² − 8x + 6의 근은 1과 3이므로 2(x − 1)(x − 3)입니다.

출처 및 근거

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