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Equazioni di secondo grado – calcolatore

Per le equazioni di secondo grado scrivi l’equazione nella forma ax² + bx + c = 0 e inserisci a, b e c: il calcolatore mostra il delta, le soluzioni e tutti i passaggi.

Esempio: a (coefficiente di x²) 2 · b (coefficiente di x) -8 · c (termine noto) 6 → Soluzioni: x₁ = 1; x₂ = 3. Fonte: Wolfram MathWorld – Quadratic formula and discriminant. Aggiornato al: .

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Risultato

Soluzioni
x₁ = 1; x₂ = 3
Delta (Δ)
D = 16 > 0 → due soluzioni reali distinte
Vertice della parabola
S(2 | −2)
Scomposizione in fattori
2 · (x − 1) · (x − 3)
Somma e prodotto delle radici
x₁ + x₂ = 4; x₁ · x₂ = 3
Passaggi
  • 2x² − 8x + 6 = 0
  • D = b² − 4ac = (−8)² − 4 · 2 · 6 = 64 − 48 = 16
  • x = (−b ± √D) ÷ (2a) = (8 ± √16) ÷ 4
  • x₁ = (8 − 4) ÷ 4 ≈ 1; x₂ = (8 + 4) ÷ 4 ≈ 3
  • Forma normale (divido per a): x² + px + q = 0 con p = −4, q = 3
  • x = −p/2 ± √((p/2)² − q) = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1
  • Verifica con somma e prodotto: x₁ + x₂ = −b ÷ a e x₁ · x₂ = c ÷ a
a > 0: la parabola ha la concavità verso l’alto e il vertice è il suo minimo.

Come si calcola

Le equazioni di secondo grado ax² + bx + c = 0 si risolvono con la formula risolutiva x = (−b ± √Δ) ÷ (2a), dove Δ = b² − 4ac è il delta (discriminante). Se Δ > 0 ci sono due soluzioni reali distinte, se Δ = 0 due coincidenti, se Δ < 0 nessuna soluzione reale. Esempio: 2x² − 8x + 6 = 0 ha Δ = 16 e soluzioni x = 1 e x = 3.

Portare l’equazione in forma normale

Forma esatta, vertice e scomposizione

Con coefficienti interi il calcolatore dà anche le soluzioni esatte: come frazione (6x² − x − 2 = 0 → −1/2 e 2/3) o con il radicale semplificato (x² − 3x + 1 = 0 → (3 ± √5) ÷ 2). Ottieni inoltre il vertice V(−b/(2a); −Δ/(4a)), la scomposizione a(x − x₁)(x − x₂) e la verifica con somma e prodotto delle radici. Se Δ < 0 compaiono le soluzioni complesse, per esempio 1 ± 2i.

Precisione

Quando b² è molto più grande di 4ac, la formula applicata così com’è perde cifre significative. Il calcolatore usa quindi la variante stabile di Numerical Recipes: q = −(b + segno(b)·√Δ)/2, x₁ = q/a, x₂ = c/q. I passaggi mostrano comunque la formula studiata a scuola.

Disegna la parabola con il grafico di funzioni, controlla i radicali con la calcolatrice di potenze e le frazioni con il calcolo frazioni.

Domande frequenti

Qual è la formula delle equazioni di secondo grado?

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a) per ax² + bx + c = 0. Il ± fornisce le due soluzioni x₁ e x₂.

Come si calcola il delta?

Δ = b² − 4ac. Per 2x² − 8x + 6 = 0: Δ = (−8)² − 4 · 2 · 6 = 64 − 48 = 16.

Come si risolvono le equazioni di secondo grado pure e spurie?

Pura (b = 0): si isola x², per esempio x² = 9 → x = ±3. Spuria (c = 0): si raccoglie x, x(x + 4) = 0 → x = 0 oppure x = −4.

Cosa succede se il delta è negativo?

L’equazione è impossibile nei reali: la parabola non interseca l’asse x. Nei complessi le soluzioni sono (−b ± i√(−Δ)) ÷ (2a), come 1 ± 2i.

Come si scompone un trinomio di secondo grado?

Con le radici x₁ e x₂: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Ad esempio 2x² − 8x + 6 = 2(x − 1)(x − 3).

Fonti e riferimenti normativi

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