Calcolatore della distribuzione di Weibull
Valuta la distribuzione di Weibull a due parametri in un valore x e ottieni le grandezze usuali di affidabilità, dalla probabilità di guasto alla vita B10.
Esempio: Parametro di forma k (β) 2 · Parametro di scala λ (η) 10 · Valore x (ad es. tempo, carico o velocità del vento) 5 · Probabilità per il quantile (%) 10 → Risultato: F(5) = 0,221199, f(5) = 0,0778801. Fonte: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.8 Weibull Distribution: pdf, cdf, hazard function, percent point function, mean Γ((γ+1)/γ), median ln(2)^(1/γ), mode and standard deviation (read 14.10.2026). Aggiornato al: .
Come si calcola
La distribuzione di Weibull ha funzione di ripartizione F(x) = 1 − e^(−(x/λ)^k) e densità f(x) = (k/λ)·(x/λ)^(k−1)·e^(−(x/λ)^k). Con k = 2, λ = 10 e x = 5 la probabilità di guasto fino a x è 0,221199 e la densità 0,0778801.
Formule
- Affidabilità (sopravvivenza): R(x) = 1 − F(x) = e^(−(x/λ)^k)
- Tasso di guasto: h(x) = f(x)/R(x) = (k/λ)·(x/λ)^(k−1)
- Media: λ·Γ(1 + 1/k); mediana: λ·(ln 2)^(1/k)
- Moda: λ·((k − 1)/k)^(1/k) se k > 1, altrimenti 0
- Deviazione standard: λ·√(Γ(1 + 2/k) − Γ(1 + 1/k)²)
- Quantile: x_p = λ·(−ln(1 − p))^(1/k); con p = 10 % è la vita B10.
In x = λ la funzione di ripartizione vale sempre 1 − e^(−1) ≈ 0,632121, qualunque sia k; per questo λ si chiama vita caratteristica. Con k = 1 la distribuzione di Weibull diventa l’esponenziale, con k = 2 la distribuzione di Rayleigh. La funzione Γ si calcola con la funzione gamma.
Effetto del parametro di forma (λ = 10, x = 5)
| k | F(5) | Media | Mediana | B10 |
|---|---|---|---|---|
| 0,5 | 0,506931 | 20 | 4,80453 | 0,111008 |
| 1 | 0,393469 | 10 | 6,931472 | 1,053605 |
| 2 | 0,221199 | 8,862269 | 8,325546 | 3,245928 |
| 3,5 | 0,084595 | 8,997472 | 9,005785 | 5,257328 |
Un k piccolo disperde molto i guasti: con k = 0,5 metà delle unità si guasta prima di 4,80453, anche se la media è 20. Un k grande li concentra vicino a λ. Vedi anche la distribuzione normale e la distribuzione di Poisson.
Weibull e velocità del vento
Nell’eolico la distribuzione di Weibull si usa spesso per descrivere quanto spesso il vento soffia a ciascuna velocità: x è la velocità, λ la scala e k la forma. Con k = 2 si ottiene la distribuzione di Rayleigh e la velocità media vale λ·Γ(1,5) ≈ 0,886·λ. Lo strumento calcola F(x), cioè la quota di tempo con vento fino a x, se conosci già k e λ del sito.
Limiti
Lo strumento usa la forma a due parametri (posizione μ = 0). Valuta la distribuzione con parametri noti; non stima k né λ da dati di guasto o di vento.
Domande frequenti
Che cosa indicano k e λ nella distribuzione di Weibull?
k è la forma: sotto 1 il tasso di guasto scende, a 1 è costante e sopra 1 sale. λ è la scala o vita caratteristica: fino a x = λ si guasta il 63,2 %.
Qual è la formula della distribuzione di Weibull?
F(x) = 1 − e^(−(x/λ)^k). Con k = 2, λ = 10 e x = 5: 1 − e^(−0,25) ≈ 0,221199.
Qual è la media di una distribuzione di Weibull?
λ·Γ(1 + 1/k). Con k = 2 e λ = 10 è 10·Γ(1,5) ≈ 8,862269.
Che cos’è la vita B10?
Il tempo entro cui si è guastato il 10 % delle unità: λ·(−ln 0,9)^(1/k). Con k = 2 e λ = 10, circa 3,245928.
La distribuzione esponenziale è un caso della Weibull?
Sì: con k = 1 la distribuzione di Weibull diventa l’esponenziale di media λ.
Fonti e riferimenti normativi
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.8 Weibull Distribution: pdf, cdf, hazard function, percent point function, mean Γ((γ+1)/γ), median ln(2)^(1/γ), mode and standard deviation (read 14.10.2026)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions §5.2: gamma function Γ(z) used for mean and standard deviation (read 14.10.2026)
Aggiornato al: · Principi editoriali
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