Calcolo della funzione gamma
Calcola la funzione gamma Γ(x) di qualsiasi numero reale tranne 0, −1, −2, …, comprese frazioni come Γ(0,5) = √π e valori enormi scritti come potenze di dieci.
Esempio: x 0,5 → Risultato: Γ(0,5) = 1,772453851. Fonte: NIST Digital Library of Mathematical Functions §5.2: Euler’s integral Γ(z) = ∫₀^∞ e^(−t)·t^(z−1) dt (read 14.10.2026). Aggiornato al: .
Come si calcola
La funzione gamma estende il fattoriale ai numeri reali: Γ(n) = (n − 1)! per gli interi positivi e Γ(x + 1) = x·Γ(x) per ogni x. Così Γ(5) = 4! = 24 e Γ(0,5) = √π ≈ 1,7724538509.
Definizione e proprietà
Per x > 0 la funzione gamma è l’integrale di Eulero Γ(x) = ∫₀^∞ e^(−t)·t^(x−1) dt. Due regole della NIST Digital Library of Mathematical Functions la estendono agli altri numeri:
- Ricorrenza: Γ(x + 1) = x·Γ(x), quindi Γ(1,5) = 0,5·Γ(0,5) ≈ 0,8862269255.
- Riflessione: Γ(x)·Γ(1 − x) = π / sen(πx), da cui i valori negativi, per esempio Γ(−0,5) = −2√π ≈ −3,5449077018.
In 0, −1, −2, … la funzione ha dei poli e nessun valore. Tra i poli sull’asse negativo il segno si alterna.
Valori della funzione gamma
| x | Γ(x) |
|---|---|
| 0,25 | 3,6256099082 |
| 0,5 | 1,7724538509 |
| 1,5 | 0,8862269255 |
| 2,5 | 1,3293403882 |
| 4,5 | 11,6317283966 |
| 5 | 24 |
| −0,5 | −3,5449077018 |
| −1,5 | 2,3632718012 |
Anche il valore di riferimento NIST Γ(1/3) = 2,67893 85347… viene rispettato. Oltre x ≈ 171,6 il risultato non entra più in un normale numero in virgola mobile; lo strumento lo mostra allora tramite ln Γ(x), per esempio Γ(200) = 199! ≈ 3,943289 × 10³⁷². Per gli interi il calcolo del fattoriale dà tutte le cifre; il fattore 1/√(2π) della distribuzione normale deriva da Γ(1/2) = √π.
Precisione
L’approssimazione di Lanczos è precisa a circa 15 cifre significative; ne vengono mostrate dieci. I valori molto grandi derivano da ln Γ(x), il cui errore di arrotondamento cresce con la sua grandezza: da circa x = 3500 lo strumento mostra quindi nove cifre, con x = 1.000.000 sette. Molto vicino a un polo il risultato diventa enorme e già l’arrotondamento del dato inserito gli toglie precisione relativa.
Domande frequenti
Quanto vale la funzione gamma di 0,5?
Γ(0,5) = √π ≈ 1,7724538509.
Che legame c’è tra funzione gamma e fattoriale?
Γ(n) = (n − 1)! per gli interi positivi, quindi Γ(5) = 24. Al contrario x! = Γ(x + 1) per ogni reale che non sia un intero negativo.
La funzione gamma può essere negativa?
Sì, per alcuni x negativi: Γ(−0,5) ≈ −3,5449077018, mentre Γ(−1,5) ≈ 2,3632718012 torna positiva.
Perché Γ(0) non esiste?
La funzione gamma ha un polo in 0 e in ogni intero negativo; vicino a questi punti i valori crescono senza limite.
Quanto vale il fattoriale di 0,5?
0,5! = Γ(1,5) = √π / 2 ≈ 0,8862269255.
Fonti e riferimenti normativi
- NIST Digital Library of Mathematical Functions §5.2: Euler’s integral Γ(z) = ∫₀^∞ e^(−t)·t^(z−1) dt (read 14.10.2026)
- NIST DLMF §5.4: Γ(1) = 1, n! = Γ(n+1), Γ(1/2) = √π = 1.77245 38509…, Γ(1/3) = 2.67893 85347… (read 14.10.2026)
- NIST DLMF §5.5: recurrence Γ(z+1) = z·Γ(z) and reflection Γ(z)·Γ(1−z) = π/sin(πz) (read 14.10.2026)
- Wikipedia, Lanczos approximation: coefficients for g = 7, n = 9 used for the numerical value (read 14.10.2026)
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