Calculadora de la función gamma
Calcula la función gamma Γ(x) de cualquier número real salvo 0, −1, −2, …, incluidas fracciones como Γ(0,5) = √π y valores enormes en potencias de diez.
Ejemplo: x 0,5 → Resultado: Γ(0,5) = 1,772453851. Fuente: NIST Digital Library of Mathematical Functions §5.2: Euler’s integral Γ(z) = ∫₀^∞ e^(−t)·t^(z−1) dt (read 14.10.2026). Actualizado: .
Cómo se calcula
La función gamma extiende el factorial a los números reales: Γ(n) = (n − 1)! para enteros positivos y Γ(x + 1) = x·Γ(x) para todo x. Así, Γ(5) = 4! = 24 y Γ(0,5) = √π ≈ 1,7724538509.
Definición y propiedades
Para x > 0 la función gamma es la integral de Euler Γ(x) = ∫₀^∞ e^(−t)·t^(x−1) dt. Dos reglas de la NIST Digital Library of Mathematical Functions la llevan al resto de números:
- Recurrencia: Γ(x + 1) = x·Γ(x), de modo que Γ(1,5) = 0,5·Γ(0,5) ≈ 0,8862269255.
- Reflexión: Γ(x)·Γ(1 − x) = π / sen(πx); de ahí salen los valores negativos, como Γ(−0,5) = −2√π ≈ −3,5449077018.
En 0, −1, −2, … la función tiene polos y no toma valor. Entre los polos del eje negativo su signo se alterna.
Valores de la función gamma
| x | Γ(x) |
|---|---|
| 0,25 | 3,6256099082 |
| 0,5 | 1,7724538509 |
| 1,5 | 0,8862269255 |
| 2,5 | 1,3293403882 |
| 4,5 | 11,6317283966 |
| 5 | 24 |
| −0,5 | −3,5449077018 |
| −1,5 | 2,3632718012 |
También coincide el valor de referencia del NIST Γ(1/3) = 2,67893 85347… Por encima de x ≈ 171,6 el resultado ya no cabe en un número de coma flotante normal y la herramienta lo muestra a partir de ln Γ(x), por ejemplo Γ(200) = 199! ≈ 3,943289 × 10³⁷². Para enteros, la calculadora de factorial da todas las cifras; el factor 1/√(2π) de la distribución normal sale de Γ(1/2) = √π.
Precisión
La aproximación de Lanczos tiene unas 15 cifras significativas; se muestran diez. Los valores muy grandes salen de ln Γ(x), cuyo error de redondeo crece con su tamaño: a partir de x ≈ 3500 la herramienta muestra nueve cifras y con x = 1.000.000, siete. Muy cerca de un polo el resultado se dispara y el simple redondeo de la entrada ya le resta precisión relativa.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale la función gamma de 0,5?
Γ(0,5) = √π ≈ 1,7724538509.
¿Qué relación tiene la función gamma con el factorial?
Γ(n) = (n − 1)! para enteros positivos, así que Γ(5) = 24. A la inversa, x! = Γ(x + 1) para cualquier real que no sea un entero negativo.
¿Puede ser negativa la función gamma?
Sí, para algunos x negativos: Γ(−0,5) ≈ −3,5449077018, mientras que Γ(−1,5) ≈ 2,3632718012 vuelve a ser positiva.
¿Por qué no existe Γ(0)?
La función gamma tiene polos en 0 y en cada entero negativo; cerca de ellos los valores crecen sin límite.
¿Cuánto es el factorial de 0,5?
0,5! = Γ(1,5) = √π / 2 ≈ 0,8862269255.
Fuentes y base legal
- NIST Digital Library of Mathematical Functions §5.2: Euler’s integral Γ(z) = ∫₀^∞ e^(−t)·t^(z−1) dt (read 14.10.2026)
- NIST DLMF §5.4: Γ(1) = 1, n! = Γ(n+1), Γ(1/2) = √π = 1.77245 38509…, Γ(1/3) = 2.67893 85347… (read 14.10.2026)
- NIST DLMF §5.5: recurrence Γ(z+1) = z·Γ(z) and reflection Γ(z)·Γ(1−z) = π/sin(πz) (read 14.10.2026)
- Wikipedia, Lanczos approximation: coefficients for g = 7, n = 9 used for the numerical value (read 14.10.2026)
Última actualización: · Principios editoriales
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