Calculadora da função gama
Calcule a função gama Γ(x) de qualquer número real exceto 0, −1, −2, …, incluindo frações como Γ(1/2) = Γ(0,5) = √π e valores enormes em potências de dez.
Exemplo: x 0,5 → Resultado: Γ(0,5) = 1,772453851. Fonte: NIST Digital Library of Mathematical Functions §5.2: Euler’s integral Γ(z) = ∫₀^∞ e^(−t)·t^(z−1) dt (read 14.10.2026). Atualizado em: .
Como o cálculo é feito
A função gama estende o fatorial aos números reais: Γ(n) = (n − 1)! para inteiros positivos e Γ(x + 1) = x·Γ(x) para todo x. Assim, Γ(5) = 4! = 24 e Γ(1/2) = Γ(0,5) = √π ≈ 1,7724538509.
Definição e propriedades
Para x > 0, a função gama é a integral de Euler Γ(x) = ∫₀^∞ e^(−t)·t^(x−1) dt. Duas regras da NIST Digital Library of Mathematical Functions a levam aos demais números:
- Recorrência: Γ(x + 1) = x·Γ(x), de modo que Γ(1,5) = 0,5·Γ(0,5) ≈ 0,8862269255.
- Reflexão: Γ(x)·Γ(1 − x) = π / sen(πx); daí saem os valores negativos, como Γ(−0,5) = −2√π ≈ −3,5449077018.
Em 0, −1, −2, … a função tem polos e não assume valor. Entre os polos do eixo negativo, o sinal se alterna – o gráfico tem ramos que vão a ±∞ junto a cada polo.
Tabela de valores da função gama
| x | Γ(x) |
|---|---|
| 0,25 | 3,6256099082 |
| 0,5 | 1,7724538509 |
| 1,5 | 0,8862269255 |
| 2,5 | 1,3293403882 |
| 4,5 | 11,6317283966 |
| 5 | 24 |
| −0,5 | −3,5449077018 |
| −1,5 | 2,3632718012 |
O valor de referência do NIST Γ(1/3) = 2,67893 85347… também confere. Acima de x ≈ 171,6 o resultado não cabe mais num número de ponto flutuante comum, e a ferramenta o mostra a partir de ln Γ(x), por exemplo Γ(200) = 199! ≈ 3,943289 × 10³⁷².
Para que serve a função gama?
Ela aparece onde um fatorial precisa valer também para números não inteiros: em fórmulas de probabilidade e estatística, em integrais e em séries. O fator 1/√(2π) da distribuição normal está ligado a Γ(1/2) = √π. Para inteiros, a calculadora para calcular fatorial mostra todos os dígitos.
Precisão
A aproximação de Lanczos tem cerca de 15 algarismos significativos; são exibidos dez. Valores muito grandes saem de ln Γ(x), cujo erro de arredondamento cresce com o tamanho: a partir de x ≈ 3500 a ferramenta mostra nove algarismos e, com x = 1.000.000, sete. Muito perto de um polo o resultado dispara, e o simples arredondamento da entrada já tira precisão relativa.
Perguntas frequentes
Quanto vale a função gama de 1/2?
Γ(1/2) = Γ(0,5) = √π ≈ 1,7724538509.
Qual é a relação entre a função gama e o fatorial?
Γ(n) = (n − 1)! para inteiros positivos, então Γ(5) = 24. No sentido inverso, x! = Γ(x + 1) para qualquer real que não seja inteiro negativo.
A função gama pode ser negativa?
Sim, para alguns x negativos: Γ(−0,5) ≈ −3,5449077018, enquanto Γ(−1,5) ≈ 2,3632718012 volta a ser positiva.
Por que Γ(0) não existe?
A função gama tem polos em 0 e em cada inteiro negativo; perto deles os valores crescem sem limite.
Quanto é o fatorial de 0,5?
0,5! = Γ(1,5) = √π / 2 ≈ 0,8862269255.
Fontes e base legal
- NIST Digital Library of Mathematical Functions §5.2: Euler’s integral Γ(z) = ∫₀^∞ e^(−t)·t^(z−1) dt (read 14.10.2026)
- NIST DLMF §5.4: Γ(1) = 1, n! = Γ(n+1), Γ(1/2) = √π = 1.77245 38509…, Γ(1/3) = 2.67893 85347… (read 14.10.2026)
- NIST DLMF §5.5: recurrence Γ(z+1) = z·Γ(z) and reflection Γ(z)·Γ(1−z) = π/sin(πz) (read 14.10.2026)
- Wikipedia, Lanczos approximation: coefficients for g = 7, n = 9 used for the numerical value (read 14.10.2026)
Última atualização: · Princípios editoriais
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