Equação do quarto grau

Resolva qualquer equação do quarto grau ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 com coeficientes reais: veja as quatro raízes, reais e complexas, com multiplicidade, e o discriminante Δ com o que ele indica. Equações biquadradas são resolvidas direto com y = x².

Exemplo: a (coeficiente de x⁴, diferente de 0) 1 · b (coeficiente de x³) -10 · c (coeficiente de x²) 35 · d (coeficiente de x) -50 · e (termo independente) 24 → Raízes reais: Raízes reais: x = 1; 2; 3; 4. Fonte: Wikipedia, Quartic function – Nature of the roots: discriminant Δ, P = 8ac − 3b², D = 64a³e − 16a²c² + 16ab²c − 16a²bd − 3b⁴; Δ < 0 two real and two complex roots, Δ > 0 with P < 0 and D < 0 four distinct real roots, otherwise two complex pairs; biquadratic case (read 15.10.2026). Atualizado em: 15 de outubro de 2026.

a (coeficiente de x⁴, diferente de 0)

b (coeficiente de x³)

c (coeficiente de x²)

d (coeficiente de x)

e (termo independente)

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Resultado

Raízes reais: Raízes reais: x = 1; 2; 3; 4
As quatro raízes: Raiz Valor Tipo
x₁ 1 real
x₂ 2 real
x₃ 3 real
x₄ 4 real
Discriminante e caso: Grandeza Valor
Discriminante Δ 144
P = 8ac − 3b² −20
D = 64a³e − 16a²c² + 16ab²c − 16a²bd − 3b⁴ −64
Caso Δ > 0, P < 0 e D < 0: quatro raízes reais distintas; Calculado numericamente (Durand-Kerner, depois Newton) e mostrado com 8 algarismos significativos; com coeficientes inteiros o sinal de Δ é exato. Raízes múltiplas são refinadas pela derivada.

Raiz	Valor	Tipo
x₁	1	real
x₂	2	real
x₃	3	real
x₄	4	real

Grandeza	Valor
Discriminante Δ	144
P = 8ac − 3b²	−20
D = 64a³e − 16a²c² + 16ab²c − 16a²bd − 3b⁴	−64
Caso	Δ > 0, P < 0 e D < 0: quatro raízes reais distintas

Como o cálculo é feito

Uma equação do quarto grau tem exatamente quatro raízes, contando as complexas e a multiplicidade. x⁴ − 10x³ + 35x² − 50x + 24 = 0 se fatora como (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4), então as raízes são 1, 2, 3 e 4; o discriminante é Δ = 144.

Exemplos

a	b	c	d	e	Raízes reais
1	−10	35	−50	24	1; 2; 3; 4
1	0	−5	0	4	−2; −1; 1; 2
1	0	1	0	−6	−1,4142; 1,4142
1	0	0	0	1	nenhuma

A terceira equação tem ainda o par complexo ±1,7321i (x² = −3); a última, quatro raízes complexas ±0,7071 ± 0,7071i.

O que o discriminante diz

Δ < 0: duas raízes reais e duas complexas.
Δ > 0 com P < 0 e D < 0: quatro raízes reais distintas.
Δ > 0 com P > 0 ou D > 0: nenhuma raiz real, dois pares complexos.
Δ = 0: alguma raiz se repete, como em (x − 1)⁴ = x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x + 1.

Equações biquadradas

Sem os termos em x³ e em x (b = d = 0) faz-se a troca y = x²: x⁴ − 5x² + 4 = 0 vira y² − 5y + 4 = 0 com y = 1 e y = 4, logo x = ±1 e x = ±2. O passo do meio é resolvido com a fórmula de Bhaskara; um grau abaixo está a equação do terceiro grau.

Perguntas frequentes

Como resolver uma equação do quarto grau?

O método de Ferrari a reduz a uma cúbica e duas quadráticas; na prática as raízes são calculadas numericamente, como aqui. Para x⁴ − 10x³ + 35x² − 50x + 24 = 0 elas são 1, 2, 3 e 4.

Quantas raízes tem uma equação do quarto grau?

Exatamente quatro, contando as complexas e a multiplicidade. Reais podem ser 4, 2 ou 0.

O que é uma equação biquadrada?

Uma equação do quarto grau sem termos em x³ e em x: ax⁴ + cx² + e = 0. Com y = x² ela vira do segundo grau.

O que o discriminante indica?

O sinal dá o tipo de raízes: Δ < 0, duas reais e duas complexas; Δ = 0, uma raiz múltipla; Δ > 0, quatro reais ou nenhuma real.

Posso usar coeficientes decimais?

Sim, qualquer número real com a ≠ 0. As raízes aparecem com 8 algarismos significativos.

Fontes e base legal

Wikipedia, Quartic function – Nature of the roots: discriminant Δ, P = 8ac − 3b², D = 64a³e − 16a²c² + 16ab²c − 16a²bd − 3b⁴; Δ < 0 two real and two complex roots, Δ > 0 with P < 0 and D < 0 four distinct real roots, otherwise two complex pairs; biquadratic case (read 15.10.2026)

Última atualização: 15 de outubro de 2026 · Princípios editoriais