Equazione di quarto grado
Risolvi qualsiasi equazione di quarto grado ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 con coefficienti reali: ottieni le quattro soluzioni, reali e complesse, con la loro molteplicità, e il discriminante Δ con il suo significato. Le equazioni biquadratiche si risolvono direttamente con y = x².
Esempio: a (coefficiente di x⁴, diverso da 0) 1 · b (coefficiente di x³) -10 · c (coefficiente di x²) 35 · d (coefficiente di x) -50 · e (termine noto) 24 → Soluzioni reali: Soluzioni reali: x = 1; 2; 3; 4. Fonte: Wikipedia, Quartic function – Nature of the roots: discriminant Δ, P = 8ac − 3b², D = 64a³e − 16a²c² + 16ab²c − 16a²bd − 3b⁴; Δ < 0 two real and two complex roots, Δ > 0 with P < 0 and D < 0 four distinct real roots, otherwise two complex pairs; biquadratic case (read 15.10.2026). Aggiornato al: .
Come si calcola
Un’equazione di quarto grado ha esattamente quattro soluzioni contando quelle complesse e la molteplicità. x⁴ − 10x³ + 35x² − 50x + 24 = 0 si scompone in (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4), quindi le soluzioni sono 1, 2, 3 e 4; il discriminante vale Δ = 144.
Esempi
| a | b | c | d | e | Soluzioni reali |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | −10 | 35 | −50 | 24 | 1; 2; 3; 4 |
| 1 | 0 | −5 | 0 | 4 | −2; −1; 1; 2 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | −6 | −1,4142; 1,4142 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | nessuna |
La terza equazione ha anche la coppia complessa ±1,7321i (x² = −3); l’ultima ha quattro soluzioni complesse ±0,7071 ± 0,7071i.
Che cosa dice il discriminante
- Δ < 0: due soluzioni reali e due complesse.
- Δ > 0 con P < 0 e D < 0: quattro soluzioni reali distinte.
- Δ > 0 con P > 0 o D > 0: nessuna soluzione reale, due coppie complesse.
- Δ = 0: una soluzione si ripete, come in (x − 1)⁴ = x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x + 1.
Equazioni biquadratiche
Senza i termini in x³ e in x (b = d = 0) si pone y = x²: x⁴ − 5x² + 4 = 0 diventa y² − 5y + 4 = 0 con y = 1 e y = 4, quindi x = ±1 e x = ±2. Il passaggio intermedio è un’equazione di secondo grado; per un grado in meno c’è il calcolo dell’equazione di terzo grado.
Domande frequenti
Come si risolve un’equazione di quarto grado?
Il metodo di Ferrari la riduce a una cubica e a due equazioni di secondo grado; in pratica le soluzioni si calcolano numericamente, come qui. Per x⁴ − 10x³ + 35x² − 50x + 24 = 0 sono 1, 2, 3 e 4.
Quante soluzioni ha un’equazione di quarto grado?
Esattamente quattro, contando quelle complesse e la molteplicità. Quelle reali possono essere 4, 2 o 0.
Che cos’è un’equazione biquadratica?
Un’equazione di quarto grado senza termini in x³ e in x: ax⁴ + cx² + e = 0. Con y = x² diventa di secondo grado.
Che cosa indica il discriminante?
Il suo segno dà il tipo di soluzioni: Δ < 0 due reali e due complesse, Δ = 0 una soluzione multipla, Δ > 0 quattro reali oppure nessuna reale.
Si possono usare coefficienti decimali?
Sì, qualsiasi numero reale con a ≠ 0. Le soluzioni sono mostrate con 8 cifre significative.
Fonti e riferimenti normativi
Aggiornato al: · Principi editoriali
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