Calcolatore della distribuzione beta
Calcola la distribuzione beta con i parametri di forma α e β: densità f(x), probabilità cumulata P(X ≤ x) e P(X > x), media, mediana, moda, varianza, asimmetria e il quantile per una probabilità p.
Esempio: Parametro di forma α (alfa) 2 · Parametro di forma β (beta) 5 · Valore x (tra 0 e 1) 0,3 · Probabilità p per il quantile 0,95 → Risultato: P(X ≤ 0,3) = 0,579825 · densità f(0,3) = 2,1609. Fonte: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.17 Beta Distribution: f(x) = x^(p−1)(1−x)^(q−1)/B(p,q), F(x) = I_x(p,q), mean p/(p+q), mode (p−1)/(p+q−2), standard deviation, skewness (read 15.10.2026). Aggiornato al: .
Come si calcola
La distribuzione beta descrive una proporzione o una probabilità tra 0 e 1. I due parametri di forma α e β stabiliscono dove si concentra la massa: con α = 2 e β = 5 la media è 2 ÷ 7 = 0,2857 e P(X ≤ 0,3) = 0,5798.
Formule
- Densità: f(x) = xα−1 (1 − x)β−1 ÷ B(α, β)
- Funzione di ripartizione: F(x) = Ix(α, β), la funzione beta incompleta regolarizzata
- Media α ÷ (α + β); moda (α − 1) ÷ (α + β − 2) se α, β > 1
- Varianza αβ ÷ ((α + β)² (α + β + 1))
Con numeri interi si può controllare con la binomiale: I0,5(2, 3) è la probabilità di almeno 2 successi su 4 prove con p = 0,5, cioè 11 ÷ 16 = 0,6875. Verificalo con il calcolatore della distribuzione binomiale.
Esempi
| α | β | Media | P(X ≤ 0,5) |
|---|---|---|---|
| 2 | 5 | 0,2857 | 0,8906 |
| 5 | 2 | 0,7143 | 0,1094 |
| 2 | 2 | 0,5 | 0,5 |
| 10 | 30 | 0,25 | 0,9995 |
Scambiare α e β rispecchia la distribuzione rispetto a 0,5. Con α = β = 1 è la distribuzione uniforme; con entrambi minori di 1 la densità ha forma a U ed è massima ai bordi.
Dove si usa
Come distribuzione a priori e a posteriori di un tasso di successo (test A/B bayesiani: α = successi + 1, β = insuccessi + 1), nelle stime PERT e per le proporzioni in generale. Modelli vicini sono la distribuzione esponenziale per le durate e la distribuzione normale, a cui la beta si avvicina per α e β grandi.
Domande frequenti
Come si calcola la funzione di ripartizione della distribuzione beta?
F(x) = I_x(α, β), la funzione beta incompleta regolarizzata. Non ha una forma chiusa semplice; il calcolatore usa la frazione continua di NIST DLMF 8.17.22. Esempio: α = 2, β = 5 dà P(X ≤ 0,3) = 0,5798.
Qual è la media della distribuzione beta?
α ÷ (α + β). Con α = 2 e β = 5 vale 0,2857.
Qual è la moda della distribuzione beta?
(α − 1) ÷ (α + β − 2) se entrambi i parametri sono maggiori di 1; con α = 2 e β = 5 vale 0,2. Con un parametro minore o uguale a 1 il massimo è sul bordo.
Che cosa significa Beta(1, 1)?
È la distribuzione uniforme su [0, 1]: tutti i valori sono ugualmente probabili e P(X ≤ x) = x.
Come si scelgono α e β dai dati?
Per un tasso di successo: α = successi + 1 e β = insuccessi + 1 (a priori uniforme). 20 successi su 80 prove danno Beta(21, 61) con media 0,256.
Fonti e riferimenti normativi
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.17 Beta Distribution: f(x) = x^(p−1)(1−x)^(q−1)/B(p,q), F(x) = I_x(p,q), mean p/(p+q), mode (p−1)/(p+q−2), standard deviation, skewness (read 15.10.2026)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions §8.17(v), Eq. 8.17.22–8.17.23: continued fraction for the incomplete beta function I_x(a,b), symmetry 8.17.4 (read 15.10.2026)
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