Calcolatrice di potenze, radici e logaritmi
Inserisci una base e un esponente – negativo, decimale o una frazione come 2/3. Ottieni il risultato, il valore esatto e ogni passaggio del calcolo, con verifica.
Come si calcola
Come funziona la calcolatrice di potenze
Una potenza aⁿ è la scrittura abbreviata della moltiplicazione di n fattori uguali: a è la base, n l’esponente. Esempio: 2¹⁰ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1.024. Per risultati molto grandi la calcolatrice mostra anche il valore esatto con tutte le cifre (2¹⁰⁰ ha 31 cifre) e la notazione scientifica (1,26765060023 × 10³⁰).
Regole delle potenze ed esponenti particolari
| Regola | Formula | Esempio |
|---|---|---|
| Esponente zero | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 7⁰ = 1 |
| Esponente negativo | a⁻ⁿ = 1 / aⁿ | 2⁻³ = 1/8 = 0,125 |
| Esponente frazionario | a^(p/q) = (radice q-esima di a)^p | 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4 |
| Prodotto di potenze | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Quoziente di potenze | aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁶ / 5⁴ = 5² = 25 |
| Potenza di potenza | (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| Base negativa | esponente pari → positivo, dispari → negativo | (−2)⁴ = 16, (−2)³ = −8 |
Attenzione alla notazione: −2⁴ significa −(2⁴) = −16; solo (−2)⁴ dà 16. Questa calcolatrice eleva sempre a potenza l’intera base inserita, quindi −2 alla 4 è (−2)⁴ = 16.
Radici ennesime
La radice ennesima ⁿ√x è l’operazione inversa della potenza: è il numero che, moltiplicato per sé stesso n volte, dà x. In forma di potenza ⁿ√x = x^(1/n). Esempio: ∛27 = 3 perché 3³ = 27 (verifica). Le radici che non danno un risultato esatto vengono semplificate: √72 = √(36 × 2) = 6√2 ≈ 8,485.
Radici di numeri negativi: le radici di indice dispari hanno una soluzione reale, ∛(−8) = −2 poiché (−2)³ = −8. Le radici di indice pari come √−4 non sono numeri reali (la soluzione complessa è 2i).
Logaritmi: log, ln e cambio di base
Il logaritmo risponde alla domanda «a quale potenza bisogna elevare b per ottenere x?»: log_b x = y significa b^y = x. Quindi log₂ 8 = 3 perché 2³ = 8. ln è il logaritmo naturale in base e ≈ 2,71828, log è di norma il logaritmo decimale in base 10, mentre log₂ (lb) è il logaritmo binario usato in informatica. Qualsiasi altra base si ottiene con la formula del cambio di base:
log_b x = ln x / ln b – esempio: log₃ 10 = ln 10 / ln 3 = 2,302585 / 1,098612 ≈ 2,0959.
I logaritmi esistono solo per x > 0 e la base deve essere positiva e diversa da 1. Se x è compreso tra 0 e 1 (con base maggiore di 1), il risultato è negativo: log 0,01 = −2.
Casi particolari
- 0⁰ è una forma indeterminata nell’analisi; in algebra, combinatoria e nelle calcolatrici si usa 0⁰ = 1. La calcolatrice mostra 1 con una nota.
- 0 elevato a potenza negativa (0⁻¹ = 1/0) non è definito – è una divisione per zero.
- Valori enormi o minuscoli oltre 10³⁰⁸ vengono calcolati tramite i logaritmi: 2⁵⁰⁰⁰ ≈ 1,41 × 10¹⁵⁰⁵.
Domande frequenti
Come si calcola una potenza?
Moltiplica la base per sé stessa tante volte quante indica l’esponente: 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. Per esponenti grandi usa la calcolatrice, che restituisce anche il numero intero esatto con tutte le cifre.
Cosa significa un esponente negativo?
Un esponente negativo indica il reciproco: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Esempio: 10⁻³ = 1/10³ = 1/1.000 = 0,001. Il risultato diventa più piccolo ma, con base positiva, mai negativo.
Come funzionano gli esponenti frazionari?
Il denominatore indica la radice, il numeratore la potenza: a^(p/q) = (radice q-esima di a)^p. Esempio: 27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9. Basta digitare l’esponente come frazione, ad es. 2/3.
Come si calcola una radice cubica?
Scegli «Radice ennesima», inserisci il radicando e l’indice 3 – oppure usa la modalità potenza con esponente 1/3: ∛64 = 64^(1/3) = 4. Funziona anche con i numeri negativi: ∛(−64) = −4.
Come si calcola un logaritmo con una base qualsiasi?
Usa la formula del cambio di base: log_b x = ln x / ln b (oppure log x / log b). Esempio: log₅ 125 = ln 125 / ln 5 = 3. Nella calcolatrice inserisci il numero e la base; ln, log e log₂ vengono sempre mostrati insieme.
Qual è la differenza tra ln e log?
ln è il logaritmo naturale in base e ≈ 2,71828; log indica di norma il logaritmo decimale in base 10. ln 10 ≈ 2,3026, mentre log 10 = 1. Conversione: ln x = log x × ln 10.
Quanto vale 0 elevato a 0?
0⁰ è una forma indeterminata nell’analisi, perché le regole «a⁰ = 1» e «0ⁿ = 0» sono in contraddizione. In algebra, combinatoria e nelle calcolatrici si usa la convenzione 0⁰ = 1.
Fonti e riferimenti normativi
- ISO 80000-2:2019: ISO 80000-2 – Mathematical signs and symbols (ln, lg, lb, powers and roots)
- DLMF §4.2: NIST Digital Library of Mathematical Functions, cap. 4: logaritmo, funzione esponenziale, potenze
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