Geburtstagsparadoxon
Das Geburtstagsparadoxon besagt: Schon bei 23 Personen haben mit 50,7 % Wahrscheinlichkeit zwei am selben Tag Geburtstag. Der Rechner zeigt das für jede Gruppengröße und auch umgekehrt.
Quelle: Wikipedia – Geburtstagsparadoxon. Stand: .
So wird gerechnet
Das Geburtstagsparadoxon ist kein echter Widerspruch, sondern ein überraschendes Ergebnis: Schon in einer Gruppe von 23 Personen ist es wahrscheinlicher als nicht, dass zwei am selben Tag Geburtstag haben. Das wirkt unglaublich, weil man unwillkürlich an den eigenen Geburtstag denkt.
So wird gerechnet
Einfacher ist das Gegenteil: Alle Geburtstage verschieden. Die zweite Person hat 364 von 365 freien Tagen, die dritte 363 und so weiter. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle verschieden sind, ist das Produkt 365/365 · 364/365 · 363/365 · …, und die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist 1 minus dieses Produkt. Bei 23 Personen ergibt das 50,7 %, bei 30 sind es 70,6 %, bei 50 schon 97,0 % und bei 70 Personen 99,9 %.
Warum das nicht paradox ist
Es kommt nicht auf eine bestimmte Person an, sondern auf alle Paare: 23 Personen bilden 253 Paare, jedes mit einer Chance von 1/365. Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand mit Ihnen Geburtstag hat, wächst viel langsamer, bei 22 weiteren Personen sind es nur 5,9 %. Das Phänomen ist die Grundlage für Kollisionen bei Hash-Werten (Geburtstagsangriff).
- Mit 366 Tagen (Schaltjahr) ändern sich die Werte nur minimal.
- Bei mehr Personen als Tagen ist ein gleicher Geburtstag sicher (Schubfachprinzip).
- Die Tabelle zeigt typische Gruppengrößen von 5 bis 100 Personen.
Häufige Fragen
Wie viele Personen braucht man für 50 % beim Geburtstagsparadoxon?
23 Personen. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei gleiche Geburtstage mit 50,7 % erstmals über der Hälfte.
Wie berechnet man das Geburtstagsparadoxon?
Man multipliziert die Wahrscheinlichkeiten, dass jede weitere Person einen noch freien Tag hat: 365/365 · 364/365 · …, und zieht das Ergebnis von 1 ab.
Warum ist die Wahrscheinlichkeit so hoch?
Weil nicht ein einzelner Geburtstag verglichen wird, sondern alle Paare. 23 Personen ergeben 253 Paare, 50 Personen schon 1.225.
Quellen und Rechtsgrundlagen
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