Calculadora da distribuição beta
Calcule a distribuição beta com os parâmetros de forma α e β: densidade f(x), probabilidade acumulada P(X ≤ x) e P(X > x), média, mediana, moda, variância, assimetria e o quantil para uma probabilidade p.
Exemplo: Parâmetro de forma α (alfa) 2 · Parâmetro de forma β (beta) 5 · Valor x (entre 0 e 1) 0,3 · Probabilidade p para o quantil 0,95 → Resultado: P(X ≤ 0,3) = 0,579825 · densidade f(0,3) = 2,1609. Fonte: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.17 Beta Distribution: f(x) = x^(p−1)(1−x)^(q−1)/B(p,q), F(x) = I_x(p,q), mean p/(p+q), mode (p−1)/(p+q−2), standard deviation, skewness (read 15.10.2026). Atualizado em: .
Como o cálculo é feito
A distribuição beta descreve uma proporção ou probabilidade entre 0 e 1. Os dois parâmetros de forma α e β definem onde a massa se concentra: com α = 2 e β = 5 a média é 2 ÷ 7 = 0,2857 e P(X ≤ 0,3) = 0,5798.
Fórmulas
- Densidade: f(x) = xα−1 (1 − x)β−1 ÷ B(α, β)
- Função de distribuição: F(x) = Ix(α, β), a função beta incompleta regularizada
- Média α ÷ (α + β); moda (α − 1) ÷ (α + β − 2) se α, β > 1
- Variância αβ ÷ ((α + β)² (α + β + 1))
Com números inteiros dá para conferir pela binomial: I0,5(2, 3) é a chance de pelo menos 2 sucessos em 4 tentativas com p = 0,5, ou seja 11 ÷ 16 = 0,6875. Confira com a calculadora da distribuição binomial.
Exemplos
| α | β | Média | P(X ≤ 0,5) |
|---|---|---|---|
| 2 | 5 | 0,2857 | 0,8906 |
| 5 | 2 | 0,7143 | 0,1094 |
| 2 | 2 | 0,5 | 0,5 |
| 10 | 30 | 0,25 | 0,9995 |
Trocar α e β espelha a distribuição em 0,5. Com α = β = 1 é a distribuição uniforme; com os dois abaixo de 1 a densidade tem forma de U e é máxima nas bordas.
Onde é usada
Como distribuição a priori e a posteriori de uma taxa de sucesso (testes A/B bayesianos: α = sucessos + 1, β = fracassos + 1), em estimativas PERT e para proporções em geral. Modelos próximos são a distribuição de Weibull para tempos de vida e a distribuição normal, da qual a beta se aproxima com α e β grandes.
Perguntas frequentes
Como calcular a função de distribuição beta?
F(x) = I_x(α, β), a função beta incompleta regularizada. Ela não tem forma fechada simples; a calculadora usa a fração contínua de NIST DLMF 8.17.22. Exemplo: α = 2, β = 5 dá P(X ≤ 0,3) = 0,5798.
Qual é a média da distribuição beta?
α ÷ (α + β). Com α = 2 e β = 5 é 0,2857.
Qual é a moda da distribuição beta?
(α − 1) ÷ (α + β − 2) se os dois parâmetros forem maiores que 1; com α = 2 e β = 5 vale 0,2. Se um parâmetro for 1 ou menor, o máximo fica na borda.
O que significa Beta(1, 1)?
É a distribuição uniforme em [0, 1]: todos os valores são igualmente prováveis e P(X ≤ x) = x.
Como escolher α e β a partir de dados?
Para uma taxa de sucesso: α = sucessos + 1 e β = fracassos + 1 (a priori uniforme). 20 sucessos em 80 tentativas dão Beta(21, 61) com média 0,256.
Fontes e base legal
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.17 Beta Distribution: f(x) = x^(p−1)(1−x)^(q−1)/B(p,q), F(x) = I_x(p,q), mean p/(p+q), mode (p−1)/(p+q−2), standard deviation, skewness (read 15.10.2026)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions §8.17(v), Eq. 8.17.22–8.17.23: continued fraction for the incomplete beta function I_x(a,b), symmetry 8.17.4 (read 15.10.2026)
Última atualização: · Princípios editoriais
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