Volume toro
Il volume toro si calcola con V = 2π²·R·r²: R è la distanza del centro del tubo dall’asse e r il raggio del tubo. In alternativa inserisci raggio esterno e interno dell’anello.
Esempio: Dati inseriti: Distanza R e raggio del tubo r · Unità di lunghezza: cm · Distanza R (dall’asse al centro del tubo) 4 · Raggio del tubo r 1,5 → Risultato: Volume 177,6529 cm³, superficie 236,8705 cm². Fonte: OpenStax Calculus Volume 2, section 2.6: Theorem of Pappus for volume (volume = area of the region × distance travelled by its centroid) and Example 2.34 (torus from a circle of radius 2 at distance 4: V = 32π²) (read 13.10.2026). Aggiornato al: .
Come si calcola
Il volume di un toro è V = 2π² · R · r². R è la distanza tra l’asse di rotazione e il centro del tubo, r il raggio della sezione circolare. La superficie vale A = 4π² · R · r.
Da dove viene la formula
Secondo il teorema di Pappo, il volume di un solido di rotazione è l’area della figura per il cammino percorso dal suo baricentro. Il cerchio della sezione ha area π·r² e il suo centro percorre 2π·R: V = π·r² · 2π·R = 2π²·R·r². OpenStax fa lo stesso calcolo: raggio 2 a distanza 4 dà 32π² ≈ 315,83 unità di volume. Per la superficie vale il teorema analogo con la circonferenza: 2π·r · 2π·R = 4π²·R·r.
Esempi
| R | r | Volume | Superficie |
|---|---|---|---|
| 4 | 2 | 315,83 | 315,83 |
| 4 | 1,5 | 177,65 | 236,87 |
| 10 | 1 | 197,39 | 394,78 |
| 3 | 1 | 59,22 | 118,44 |
Con R = 4 e r = 1,5: V = 2π² · 4 · 1,5² ≈ 177,65 e A = 4π² · 4 · 1,5 ≈ 236,87. Con raggio esterno 5,5 e interno 2,5 si ottengono gli stessi valori (R = 4, r = 1,5). Vedi anche il volume del cilindro, la sfera e l’area della corona circolare.
Limiti
Le formule valgono per un anello a sezione circolare. Se r è uguale a R il foro si chiude; se r supera R il corpo si interseca da solo e lo strumento non calcola.
Domande frequenti
Come si calcola il volume di un toro?
Con V = 2π² · R · r². Esempio: R = 4, r = 2 dà 32π² ≈ 315,83.
Qual è la superficie di un toro?
A = 4π² · R · r. Per R = 4 e r = 1,5 sono circa 236,87.
Cosa sono R e r?
R è la distanza dall’asse al centro del tubo, r il raggio del tubo.
Come uso raggio esterno e interno?
r = (esterno − interno) ÷ 2 e R = (esterno + interno) ÷ 2. Lo strumento lo fa nella seconda modalità.
Perché r non può superare R?
L’anello si taglierebbe da solo e V = 2π²·R·r² non descriverebbe più un corpo reale.
Fonti e riferimenti normativi
- OpenStax Calculus Volume 2, section 2.6: Theorem of Pappus for volume (volume = area of the region × distance travelled by its centroid) and Example 2.34 (torus from a circle of radius 2 at distance 4: V = 32π²) (read 13.10.2026)
- Wolfram MathWorld, Torus, Eqs. 9–14: surface area S = 4π²·a·c and volume V = 2π²·a²·c (a = tube radius, c = distance from the axis to the tube centre) (read 13.10.2026)
- Wolfram MathWorld, Pappus’s Centroid Theorem: surface area of revolution = arc length of the generating curve × distance travelled by its centroid (read 13.10.2026)
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