Volume d'un tore
Le volume d'un tore se calcule avec V = 2π²·R·r² : R est la distance du centre du tube à l'axe et r le rayon du tube. Vous pouvez aussi saisir les rayons extérieur et intérieur de l'anneau.
Exemple : Données saisies: Distance R et rayon du tube r · Unité de longueur: cm · Distance R (de l'axe au centre du tube) 4 · Rayon du tube r 1,5 → Résultat : Volume 177,6529 cm³, aire 236,8705 cm². Source : OpenStax Calculus Volume 2, section 2.6: Theorem of Pappus for volume (volume = area of the region × distance travelled by its centroid) and Example 2.34 (torus from a circle of radius 2 at distance 4: V = 32π²) (read 13.10.2026). Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
Le volume d'un tore est V = 2π² · R · r². R est la distance entre l'axe de rotation et le centre du tube, r le rayon de la section circulaire. L'aire vaut A = 4π² · R · r.
D'où vient la formule
D'après le théorème de Pappus, le volume d'un solide de révolution est l'aire de la figure multipliée par le chemin parcouru par son centre de gravité. Le cercle de section a pour aire π·r² et son centre parcourt 2π·R : V = π·r² · 2π·R = 2π²·R·r². OpenStax fait ce calcul : rayon 2 à la distance 4 donne 32π² ≈ 315,83 unités de volume. Pour l'aire, le théorème analogue utilise le périmètre du cercle : 2π·r · 2π·R = 4π²·R·r.
Exemples
| R | r | Volume | Aire |
|---|---|---|---|
| 4 | 2 | 315,83 | 315,83 |
| 4 | 1,5 | 177,65 | 236,87 |
| 10 | 1 | 197,39 | 394,78 |
| 3 | 1 | 59,22 | 118,44 |
Avec R = 4 et r = 1,5 : V = 2π² · 4 · 1,5² ≈ 177,65 et A = 4π² · 4 · 1,5 ≈ 236,87. Avec un rayon extérieur de 5,5 et intérieur de 2,5, on obtient les mêmes valeurs (R = 4, r = 1,5). Voir aussi le volume du cylindre, la sphère et l'aire d'une couronne circulaire.
Limites
Les formules valent pour un anneau à section circulaire. Si r est égal à R, le trou se referme ; si r dépasse R, le corps se recoupe lui-même et l'outil ne calcule pas.
Questions fréquentes
Comment calculer le volume d'un tore ?
Avec V = 2π² · R · r². Exemple : R = 4, r = 2 donne 32π² ≈ 315,83.
Quelle est l'aire d'un tore ?
A = 4π² · R · r. Pour R = 4 et r = 1,5, cela fait environ 236,87.
Que sont R et r ?
R est la distance de l'axe au centre du tube et r le rayon du tube.
Comment utiliser les rayons extérieur et intérieur ?
r = (extérieur − intérieur) ÷ 2 et R = (extérieur + intérieur) ÷ 2. L'outil le fait dans le second mode.
Pourquoi r ne peut-il pas dépasser R ?
L'anneau se couperait lui-même et V = 2π²·R·r² ne décrirait plus un corps réel.
Sources et références juridiques
- OpenStax Calculus Volume 2, section 2.6: Theorem of Pappus for volume (volume = area of the region × distance travelled by its centroid) and Example 2.34 (torus from a circle of radius 2 at distance 4: V = 32π²) (read 13.10.2026)
- Wolfram MathWorld, Torus, Eqs. 9–14: surface area S = 4π²·a·c and volume V = 2π²·a²·c (a = tube radius, c = distance from the axis to the tube centre) (read 13.10.2026)
- Wolfram MathWorld, Pappus’s Centroid Theorem: surface area of revolution = arc length of the generating curve × distance travelled by its centroid (read 13.10.2026)
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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