Calculadora de la distribución beta
Calcula la distribución beta con los parámetros de forma α y β: densidad f(x), probabilidad acumulada P(X ≤ x) y P(X > x), media, mediana, moda, varianza, asimetría y el cuantil para una probabilidad p.
Ejemplo: Parámetro de forma α (alfa) 2 · Parámetro de forma β (beta) 5 · Valor x (entre 0 y 1) 0,3 · Probabilidad p para el cuantil 0,95 → Resultado: P(X ≤ 0,3) = 0,579825 · densidad f(0,3) = 2,1609. Fuente: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.17 Beta Distribution: f(x) = x^(p−1)(1−x)^(q−1)/B(p,q), F(x) = I_x(p,q), mean p/(p+q), mode (p−1)/(p+q−2), standard deviation, skewness (read 15.10.2026). Actualizado: .
Cómo se calcula
La distribución beta describe una proporción o una probabilidad entre 0 y 1. Sus dos parámetros de forma α y β deciden dónde se concentra la masa: con α = 2 y β = 5 la media es 2 ÷ 7 = 0,2857 y P(X ≤ 0,3) = 0,5798.
Fórmulas
- Densidad: f(x) = xα−1 (1 − x)β−1 ÷ B(α, β)
- Función de distribución: F(x) = Ix(α, β), la función beta incompleta regularizada
- Media α ÷ (α + β); moda (α − 1) ÷ (α + β − 2) si α, β > 1
- Varianza αβ ÷ ((α + β)² (α + β + 1))
Con números enteros se puede comprobar con la binomial: I0,5(2, 3) es la probabilidad de al menos 2 éxitos en 4 intentos con p = 0,5, es decir 11 ÷ 16 = 0,6875. Puedes verificarlo con la calculadora de la distribución binomial.
Ejemplos
| α | β | Media | P(X ≤ 0,5) |
|---|---|---|---|
| 2 | 5 | 0,2857 | 0,8906 |
| 5 | 2 | 0,7143 | 0,1094 |
| 2 | 2 | 0,5 | 0,5 |
| 10 | 30 | 0,25 | 0,9995 |
Intercambiar α y β refleja la distribución respecto a 0,5. Con α = β = 1 es la distribución uniforme; con ambos menores que 1 la densidad tiene forma de U y es máxima en los bordes.
Dónde se usa
Como distribución a priori y a posteriori de una tasa de éxito (tests A/B bayesianos: α = éxitos + 1, β = fracasos + 1), en estimaciones PERT y para proporciones en general. Modelos cercanos son la distribución Weibull para tiempos de vida y la distribución normal, a la que se parece la beta con α y β grandes.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula la función de distribución beta?
F(x) = I_x(α, β), la función beta incompleta regularizada. No tiene forma cerrada sencilla; la calculadora usa la fracción continua de NIST DLMF 8.17.22. Ejemplo: α = 2, β = 5 da P(X ≤ 0,3) = 0,5798.
¿Cuál es la media de la distribución beta?
α ÷ (α + β). Con α = 2 y β = 5 es 0,2857.
¿Cuál es la moda de la distribución beta?
(α − 1) ÷ (α + β − 2) si ambos parámetros son mayores que 1; con α = 2 y β = 5 vale 0,2. Si un parámetro es 1 o menor, el máximo está en un borde.
¿Qué significa Beta(1, 1)?
Es la distribución uniforme en [0, 1]: todos los valores son igual de probables y P(X ≤ x) = x.
¿Cómo se eligen α y β a partir de datos?
Para una tasa de éxito: α = éxitos + 1 y β = fracasos + 1 (a priori uniforme). 20 éxitos en 80 intentos dan Beta(21, 61) con media 0,256.
Fuentes y base legal
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.17 Beta Distribution: f(x) = x^(p−1)(1−x)^(q−1)/B(p,q), F(x) = I_x(p,q), mean p/(p+q), mode (p−1)/(p+q−2), standard deviation, skewness (read 15.10.2026)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions §8.17(v), Eq. 8.17.22–8.17.23: continued fraction for the incomplete beta function I_x(a,b), symmetry 8.17.4 (read 15.10.2026)
Última actualización: · Principios editoriales
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