Carnot-Wirkungsgrad berechnen
Der Rechner bestimmt den Carnot-Wirkungsgrad, den höchsten möglichen Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine zwischen einem heißen und einem kalten Reservoir: η = 1 − Tc/Th, Temperaturen in Kelvin. Zwischen 750 K und 300 K sind das 60 %. Dazu zeigt er die Leistungszahlen einer Carnot-Kältemaschine und einer Carnot-Wärmepumpe sowie die Wärmemengen pro Zyklus.
So wird gerechnet
Der Carnot-Wirkungsgrad ist η = 1 − Tc/Th; Th und Tc sind die absoluten Temperaturen (in Kelvin) des heißen und des kalten Reservoirs. Das Lehrbuch OpenStax University Physics leitet die Formel aus dem Carnot-Prozess ab – zwei Isothermen und zwei Adiabaten – und formuliert das Carnot-Prinzip: Keine Maschine, die zwischen zwei Reservoiren konstanter Temperatur arbeitet, kann einen höheren Wirkungsgrad haben als eine reversible. Der Carnot-Wirkungsgrad ist also eine theoretische Obergrenze, nicht der Wirkungsgrad einer echten Maschine.
Carnot-Wirkungsgrad für typische Temperaturen
| Heiß (°C) | Kalt (°C) | Wirkungsgrad η | Kältemaschine K_R | Wärmepumpe K_P |
|---|---|---|---|---|
| 1000 | 100 | 70,7 % | 0,41 | 1,41 |
| 600 | 30 | 65,3 % | 0,53 | 1,53 |
| 400 | 30 | 55,0 % | 0,82 | 1,82 |
| 100 | 20 | 21,4 % | 3,66 | 4,66 |
| 35 | 5 | 9,7 % | 9,27 | 10,27 |
| 25 | 0 | 8,4 % | 10,93 | 11,93 |
| 20 | 0 | 6,8 % | 13,66 | 14,66 |
Die Temperaturen werden zuerst in Kelvin umgerechnet (T = t + 273,15): Zwischen 400 °C und 30 °C ist η = 1 − 303,15/673,15 = 0,550. Beispiel 4.2 bei OpenStax geht den umgekehrten Weg: Ein Wirkungsgrad von 0,60 bei 300 K kaltem Reservoir verlangt Th = 300 K : (1 − 0,60) = 750 K. Leistet diese Maschine 300 J Arbeit pro Zyklus, nimmt sie Qh = W/η = 500 J aus dem heißen Reservoir auf und gibt Qc = 500 J − 300 J = 200 J ab.
Carnot-Wirkungsgrad der Wärmepumpe und der Kältemaschine
Rückwärts durchlaufen wird der Carnot-Prozess zur Kältemaschine oder Wärmepumpe. Ihre Leistungszahlen sind K_R = Tc/(Th − Tc) für die Kältemaschine und K_P = Th/(Th − Tc) für die Wärmepumpe; bei der Wärmepumpe ist K_P = 1/η, beide Werte steigen, je näher die Temperaturen beieinanderliegen. Darum zählt bei einer Wärmepumpe jedes Grad weniger Vorlauftemperatur: Zwischen 5 °C Quelle und 35 °C Vorlauf liegt die theoretische Obergrenze bei 10,27. In Beispiel 4.3 liefert eine Carnot-Wärmepumpe 30,0 kJ an ein Haus mit 20 °C und holt die Wärme aus Außenluft von 0 °C. Sie braucht W = 30 kJ × (293 K − 273 K)/293 K, im Buch auf 2 kJ gerundet; mit 273,15 rechnet der Rechner 2,05 kJ.
- Immer in Kelvin rechnen: Mit Grad Celsius liefert die Formel falsche Werte.
- Th muss größer als Tc sein; bei Th = Tc wird keine Arbeit gewonnen.
- Alle Werte sind ideale Grenzen: echte Motoren, Turbinen, Kühlschränke und Wärmepumpen bleiben darunter.
Den Wirkungsgrad einer realen Anlage aus Nutzen und Aufwand ermittelt Wirkungsgrad berechnen; Arbeit und Bewegungsenergie stehen bei kinetische Energie berechnen.
Häufige Fragen
Wie lautet die Formel für den Carnot-Wirkungsgrad?
η = 1 − Tc/Th, mit Th und Tc als Temperaturen des heißen und kalten Reservoirs in Kelvin. Mal 100 ergibt Prozent.
Wie groß ist der Carnot-Wirkungsgrad zwischen 400 °C und 30 °C?
In Kelvin 673,15 K und 303,15 K: η = 1 − 303,15/673,15 = 0,550, also 55,0 %.
Warum muss man in Kelvin rechnen?
Die Formel nutzt das Verhältnis absoluter Temperaturen. Mit Grad Celsius stimmt das Verhältnis nicht; ein kaltes Reservoir bei 0 °C ergäbe 100 %.
Kann eine reale Maschine den Carnot-Wirkungsgrad erreichen?
Nein. Nach dem Carnot-Prinzip arbeitet keine Maschine zwischen zwei Reservoiren besser als eine reversible; reale Maschinen verlieren Energie und bleiben darunter.
Welche Leistungszahl hat eine Carnot-Wärmepumpe?
K_P = Th/(Th − Tc). Zwischen 0 °C und 25 °C: 298,15/25 = 11,93. Eine Kältemaschine zwischen denselben Temperaturen erreicht K_R = Tc/(Th − Tc) = 10,93.
Quellen und Rechtsgrundlagen
Stand: · So prüfen wir
Passende Werkzeuge
- Wärmemenge berechnenWärmemenge berechnen für Wasser, Metall oder Luft: Energie in kWh und kJ aus Masse und Temperaturanstieg, dazu Heizdauer und Kosten. Mit Rechenweg, kostenlos.
- Kinetische Energie berechnen – dazu Lageenergie, Arbeit und LeistungKinetische Energie berechnen mit E = ½·m·v², Geschwindigkeit aus der Energie, Lageenergie E = m·g·h, Arbeit W = F·s und Leistung P = W/t – mit Rechenweg.
- Wärmepumpe Amortisation: Rechner für den Vergleich mit GasWärmepumpe oder Gasheizung? Der Rechner zeigt Betriebskosten, Gesamtauszahlungen und die Amortisation der Wärmepumpe mit Ihren Zahlen, mit Diagramm. Kostenlos.
- Energie umrechnenEnergie umrechnen zwischen Joule, kJ, MJ, Wh, kWh, Kalorie, kcal, BTU und Elektronenvolt, mit Faktor, Vergleichstabelle und der Laufzeit eines Geräts.
- Wirkungsgrad berechnenWirkungsgrad berechnen: Nutzen und Aufwand eingeben, Wirkungsgrad in Prozent samt Verlust sehen – auch rückwärts und für mehrere Stufen, mit Formel.
- Ideales Gasgesetz: Druck, Volumen, Stoffmenge oder Temperatur berechnenIdeales Gasgesetz p·V = n·R·T nach Druck, Volumen, Stoffmenge oder Temperatur auflösen – mit Einheiten von Pa bis bar, °C und K, Masse, Dichte und Rechenweg.
- Taschenrechner onlineKostenloser Online-Taschenrechner: tippen oder klicken, Ergebnis sofort – mit Punkt-vor-Strich, Klammern, Prozent, Wurzel, Rechenweg und Verlauf.
- Notenspiegel berechnen: Durchschnitt der KlassenarbeitNotenspiegel berechnen für die Klassenarbeit: Anzahl je Note eintragen, sofort Durchschnitt, Prozentanteile, Median und Anteil der Fünfen und Sechsen sehen.
- Pneumatikzylinder berechnen: Kraft, Lastfaktor und LuftverbrauchPneumatikzylinder berechnen: Kraft aus- und einfahrend aus Kolben, Stange und Druck, nutzbare Last mit SMC-Lastfaktor, Mindestdurchmesser und Luftverbrauch.