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Calculadora de integrales dobles

Esta calculadora de integrales dobles evalúa ∬ f(x, y) dA de forma numérica: sobre un rectángulo, sobre una región cuyos límites interiores dependen de la variable exterior (como 0 ≤ y ≤ x) o en coordenadas polares con r dr dθ. Ejemplo: x² + y² sobre 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x da 16/3 = 5,333333.

Fuente: Wikipedia, Multiple integral: Fubini’s theorem, normal domains, polar coordinates dA = r dr dθ (read 15.10.2026). Actualizado: .

Ejemplos: x^2 + y^2, x*y, sin(x)cos(y), exp(-(x^2+y^2)). En polares usa r y theta (o x e y). Decimales con punto o coma.
Un número o constante, p. ej. 0, pi/2, 2pi, sqrt(2).
Puede depender de la variable exterior, p. ej. x^2 (dy dx), y (dx dy) o 1 + cos(theta) (polares).
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Resultado

Resultado
∬ f dA ≈ 5,333333333
Integral
∫ de x = 0 a 2 ∫ de y = 0 a x de (x^2 + y^2) dy dx
Detalles
MagnitudValor
Valor de la integral doble5,333333333
Probablemente exacto16/3
Error estimado0
Área de la región (∬ 1 dA)2
Valor medio de f en la región2,666666667
Evaluaciones de la función128.000
Calculado numéricamente con la regla de Gauss-Legendre de 10 puntos en ambas direcciones (16 y 32 subintervalos); la diferencia entre ambas pasadas es la estimación del error. «Probablemente exacto» muestra una fracción sencilla o un múltiplo de π que coincide en 10 cifras.

Cómo se calcula

Cómo se calcula una integral doble

Una integral doble ∬ f(x, y) dA suma f sobre una región del plano: es el volumen bajo la superficie z = f(x, y). Por el teorema de Fubini se calcula como dos integrales simples, una dentro de otra. Para la región 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x la integral interior recorre y con x fija: ∫₀ˣ (x² + y²) dy = x³ + x³/3 = 4x³/3. La exterior da después ∫₀² 4x³/3 dx = 16/3 = 5,333333.

Ejemplos

fExteriorInteriorResultado
x² + y²0 ≤ x ≤ 20 ≤ y ≤ x5,333333 (= 16/3)
xy0 ≤ x ≤ 1x² ≤ y ≤ x0,04166667 (= 1/24)
sin(x)cos(y)0 ≤ x ≤ π/20 ≤ y ≤ π/21
exp(x²)0 ≤ y ≤ 1y ≤ x ≤ 10,8591409 (= (e − 1)/2)
x² + y²0 ≤ θ ≤ 2π0 ≤ r ≤ 11,570796 (= π/2)

Cambiar el orden de integración

El cuarto ejemplo muestra por qué importa el orden. e^(x²) no tiene primitiva elemental, así que integrar primero en x es imposible a mano. El mismo triángulo descrito al revés, 0 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ x, da ∫₀¹ x·e^(x²) dx = (e − 1)/2 = 0,8591409. La calculadora trabaja de forma numérica y admite los dos órdenes; cambia entre dy dx y dx dy para comprobar tus límites.

Coordenadas polares

Para discos, coronas y sectores usa el modo polar: x = r cos θ, y = r sen θ y dA = r dr dθ. El factor r es el jacobiano y se añade solo: escribe únicamente f. El área de un disco de radio 2 es ∬ 1 dA = 4π = 12,56637. Para integrales de una variable usa la calculadora de integrales, para pendientes la calculadora de derivadas y para ver antes la función el graficador de funciones.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se resuelve una integral doble?

Primero se integra la variable interior manteniendo fija la exterior y después se integra el resultado en la variable exterior (teorema de Fubini).

¿Importa el orden dy dx o dx dy?

No para el valor, siempre que la región esté bien descrita. Sí puede facilitar mucho el cálculo a mano, como con e^(x²) sobre un triángulo.

¿Cómo introduzco una región que no es un rectángulo?

Haz que los límites interiores dependan de la variable exterior, por ejemplo 0 ≤ x ≤ 1 y x² ≤ y ≤ x para la región entre la parábola y la recta.

¿Por qué aparece una r de más en polares?

Una celda polar pequeña tiene área r · dr · dθ. La calculadora multiplica por r; para el área del disco unitario escribe f = 1 y obtendrás π.

¿Qué precisión tiene el resultado?

Se comparan dos pasadas con 16 y 32 subintervalos de la regla de Gauss-Legendre de 10 puntos. Para funciones suaves el error estimado suele quedar por debajo de 10⁻¹².

Fuentes y base legal

Última actualización: · Principios editoriales

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